[論文レビュー] Emergence of Krylov complexity through quantum walks: An exploration of the quantum origins of complexity

Dimitrios Patramanis, Watse Sybesma|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2026

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ひとこと要約

この論文はグラフ上の連続時間量子ウォークを Krylov（拡散）複雑さと結びつけ、グラフ約分から Krylov 鎖が現れる仕組みを示し、SYKモデルの Lanczos 係数と高次元のハイパーキューブの Krylov 複雑さを計算し、Krylov 複雑さと回路複雑さをブラックホール文脈で比較します。

ABSTRACT

In this work we study the relationship between quantum random walks on graphs and Krylov/spread complexity. We show that the latter's definition naturally emerges through a canonical method of reducing a graph to a chain, on which we can identify the usual Krylov structure. We use this identification to construct families of graphs corresponding to special classes of systems with known complexity features and conversely, to compute Krylov complexity for graphs of physical interest. The two main outcomes are the analytic computation of the Lanczos coefficients for the SYK model for an arbitrary number $q$ of interacting fermions and the complete characterization of Krylov complexity for the hypercube graph in any number of dimensions. The latter serves as the starting point for an in-depth comparison between Krylov and circuit complexities as they purportedly arise in the context of black holes. We find that while under certain conditions Krylov complexity follows the growth and saturation pattern ascribed to such systems, the timescale at which saturation happens can generally be shorter than what is predicted by random unitary circuits, due to the effects of quantum speed-ups commonly occurring when comparing quantum and classical random walks.

研究の動機と目的

• グラフ上の連続時間量子ウォークからグラフ→鎖への縮約によって Krylov 複雑さがどのように現れるかを示す。
• グラフ構造を用いて Lanczos 係数を導き、それによって Krylov/拡散複雑さを関連づける。
• 任意の q に対する SYK モデルの解析的 Lanczos 係数を計算する。
• 任意次元のハイパーキューブグラフに対する Krylov 複雑さを特徴づける。
• Krylov 複雑さの成長と回路複雑さを比較し、ブラックホールに関する含意を検討する。

提案手法

• グラフの CTQW を近傍状態を用いて Krylov 基底を定義し、三項対角の Krylov (Lanczos) 鎖へ写像する。
• グラフのエッジを近傍内/間の集合として用い、Lanczos 係数 a_n および b_n の明示的な公式を導く（E_n, I_n）。
• 鎖上の時間発展振幅を表現し、Krylov 複雑さを鎖上の平均距離として定義する。C_K = sum_n n |phi_n(t)|^2。
• 任意のグラフに対して Krylov 鎖を得る一般的な縮約スキームを提供する。
• 特定のグラフ族を分析し、b_n の挙動（定数、sqrt(n)、sqrt(n(n-1))、n）を実現する。
• 任意の q に対する SYK モデルの解析的 Lanczos 係数を計算し、任意次元のハイパーキューブグラフに対する Krylov 複雑さを特徴づける。

Figure 1 : The graph G 4 , which is the outcome of the fusion of two complete binary trees of order 4 at the leaves. The vertical organization of vertices illustrates the columns mentioned the main text.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ上の連続時間量子ウォークが Lanczos 係数 a_n, b_n を持つ Krylov 鎖にどのように対応するか？
• RQ2 グラフ構造 (V_n, E_n, I_n) を用いて Lanczos 係数と Krylov 複雑さの成長をどう境界付け・決定するか？
• RQ3 任意の粒子数 q を持つ SYK モデルの解析的 Lanczos 係数とは何か？
• RQ4 任意次元のハイパーキューブの Krylov 複雑さの挙動はどうで、関連する holographic 文脈での回路複雑さとどのように比較されるか？
• RQ5 Krylov 複雑さと回路複雑さが似た成長・飽和パターンを示すグラフ構成と初期状態は何か？

主な発見

• Krylov 鎖上の平均距離は CTQW の Krylov/拡散複雑さの自然な指標となる。
• Lanczos 係数 a_n および b_n はグラフ依存の式で与えられ、a_n = I_n / V_n および b_n = E_{n-1} / sqrt(V_n V_{n-1})。これによりグラフトポロジーが複雑さの成長に結びつく。
• 任意の q に対する SYK モデルの解析的 Lanczos 係数を得ることができ、このモデルの Krylov 複雑さを明示的に計算可能。
• ハイパーキューブグラフの Krylov 複雑さは任意次元で完全に特徴づけられ、回路複雑さと比較するためのベンチマークを提供する。
• 特定の条件下で Krylov 複雑さはブラックホール文脈に関連する成長・飽和パターンを反映するが、飽和時間は量子スピードアップ（乱数ユニタリ回路に対する）により短くなることがある。
• この枠組みは、量子ウォークにおける量子スピードアップが、古典的または乱数ユニタリ解析と比較して飽和時間を変える可能性を示す。

Figure 2 : The graph of a cube with its vertices labeled for reference.