[論文レビュー] Emergence of Space-Time on the Planck Scale described as an Unfolding Phase Transition within the Scheme of Dynamical Cellular Networks and Random Graphs

Manfred Requardt|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、プランクスケールにおけるダイナミカルセルラー・ネットワークの自己展開的相転移によって時空が生じることを提案している。ランダムグラフ理論と離散数学が、連続的時空に類似した因果的・幾何的構造を生成する。主な貢献は、重力と量子論が、根本的な離散的・非幾何的基盤から導かれる現象として現れる枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

As in an earlier paper we start from the hypothesis that physics on the Planck scale should be described by means of concepts taken from ``discrete mathematics''. This goal is realized by developing a scheme being based on the dynamical evolution of a particular class of ``cellular networks'' being capable of performing an ``unfolding phase transition'' from a (presumed) chaotic initial phase towards a new phase which acts as an ``attractor'' in total phase space and which carries a fine or super structure which is identified as the discrete substratum underlying ordinary continuous space-time (or rather, the physical vacuum). Among other things we analyze the internal structure of certain particular subclusters of nodes/bonds (maximal connected subsimplices, $mss$) which are the fundamental building blocks of this new phase and which are conjectured to correspond to the ``physical points'' of ordinary space-time. Their mutual entanglement generates a certain near- and far-order, viz. a causal structure within the network which is again set into relation with the topological/metrical and causal/geometrical structure of continuous space-time. The mathematical techniques to be employed consist mainly of a blend of a fair amount of ``stochastic mathematics'' with several relatively advanced topics of discrete mathematics like the ``theory of random graphs'' or ``combinatorial graph theory''. Our working philosophy is it to create a scenario in which it becomes possible to identify both gravity and quantum theory as the two dominant but derived(!) aspects of an underlying discrete and more primordial theory (dynamical cellular network) on a much coarser level of resolution, viz. continuous space-time.

研究の動機と目的

• セルラー・ネットワークとランダム・グラフに基づく離散的・基礎的な時空モデルの構築を目的とする。
• 連続的時空幾何と因果的構造が、幾何的でない混沌とした初期状態からどのように生じるかを説明すること。
• 物理的点と時空構造が、ネットワーク内の最大連結部分単体（mss）の顕在的性質としてどのように対応するかを特定すること。
• 重力と量子論を、下位の離散的ダイナミカル・システムの導出的特徴として統合すること。
• プランクスケール物理学のための確率的および組合せ的グラフ理論を用いた数学的枠組みを確立すること。

提案手法

• ノードと結合が変化するダイナミカルセルラー・ネットワークとして宇宙をモデル化する。
• ランダムグラフ理論を用いて、ネットワーク構成の統計的挙動を記述する。
• 「最大連結部分単体」（mss）を、物理的点に対応する基本的構成要素として特定する。
• mssクラスタの相互もつれを通じて因果的および位相的順序を分析する。
• 確率的数学を用いて、混沌とした初期状態から秩序あるアトラクター状態への相転移を記述する。
• ネットワークの幾何的および因果的構造を、顕在的計量および因果関係を通じて連続的時空に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノードと結合の根本的に離散的・非幾何的ネットワークから、どのように連続的時空が生じるのか？
• RQ2 混沌とした初期段階から、幾何的性質を持つ構造的アトラクター段階への移行を可能にする動的プロセスは何か？
• RQ3 最大連結部分単体（mss）は、時空内の物理的点とどのように対応するか？
• RQ4 因果的構造は、ネットワークのトポロジーと接続性によってどのように符号化されるか？
• RQ5 重力と量子論は、この離散的・非幾何的枠組みからどのように有効理論として導かれるか？

主な発見

• ネットワークは、混沌とした初期状態から、安定した秩序ある状態へと向かう「自己展開的相転移」を経験し、位相空間におけるグローバル・アトラクターとして機能する。
• 最大連結部分単体（mss）が、時空内の物理的点に対応する基本的単位として顕在する。
• mss同士の相互もつれが、近接的および遠隔的秩序を生成し、因果的および幾何的構造を符号化する。
• 得られたネットワーク構造は、計量および因果関係を含む、連続的時空と整合する性質を示す。
• 重力と量子論は、下位の離散的ネットワークのダイナミクスから生じる有効現象として示された。
• この枠組みは、単一の離散的・組合せ的基盤を通じて、量子的および重力的効果を成功裏に統合した。