[論文レビュー] Emergent Dirac Hamiltonians in Quantum Gravity

Johannes Aastrup, Jesper Møller Grimstrup+1 more|ArXiv.org|Nov 12, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、4次元多様体のfoliationを量子重力のスペクトル三重項枠組みで自然に表現する行列値パラメータ $M(x)$ を持つ一般化されたオイラー・ディリクレ型作用素 $D_M$ を導入する。これらの行列を作用素に組み込むことで、半古典的極限において、lapseおよびシフト場が $M(x)$ から生じる3+1次元のディラックハミルトニアンが得られ、従来の研究に見られた正規化の問題が解消され、foliationの選択に依存しない動的原理が示唆される。

ABSTRACT

We modify the construction of the spectral triple over an algebra of holonomy loops by introducing additional parameters in form of families of matrices. These matrices generalize the already constructed Euler-Dirac type operator over a space of connections. We show that these families of matrices can naturally be interpreted as parameterizing foliations of 4-manifolds. The corresponding Euler-Dirac type operators then induce Dirac Hamiltonians associated to the corresponding foliation, in the previously constructed semi-classical states.

研究の動機と目的

• スペクトル三重項モデルを用いた量子重力における半古典的状態の正規化がlapseおよびシフト場に依存する問題を解消すること。
• 時空の時間foliationや座標系の選択に依存しない量子重力における動的原理を定式化すること。
• 幾何的構造を符号化し、出現する時空を誘導するために、行列値場 $M(x)$ を導入することで、オイラー・ディリクレ型作用素 $D$ を一般化すること。
• 一般化作用素 $D_M$ の半古典的極限から、3+1次元のディラックハミルトニアンが自然に出現することを示すこと。
• 半古典的領域において、制約 $D_A D_{BC} = D_{AB} D_C$ がアインシュタイン方程式に対応する可能性を示唆すること。

提案手法

• 作用素構成に行列値場 $M(x)$ をパラメータとして追加することで、一般化されたオイラー・ディリクレ型作用素 $D_M$ の族を導入する。
• 3次元格子の辺上に局在する coherent 状態 $\phi^t_{l_i}$ を用いて、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{\Gamma_n}$ の帰納的極限における半古典的状態 $\Phi^t_n$ を構成する。
• 極限 $n \to \infty$, $t \to 0$ における期待値 $\langle \bar{\Phi}^t_n | D_M | \Phi^t_n \rangle$ を計算し、半古典的有効ハミルトニアンを抽出する。
• 得られた式が、lapse $N$ およびシフト $N^m$ 場が $M(x)$ から生じる3+1次元ディラックハミルトニアンとして特定されることを示す。
• $D_M D_M$ の構造を解析し、$M(i)$ と $M(j)$ が可換でない場合にのみ、異なる辺間の混合項が出現することを示し、幾何的結合の可能性を示す。
• 半古典的極限においてアインシュタイン方程式に類似する量子動的原理を示唆するため、制約 $D_A D_{BC} = D_{AB} D_C$ を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子重力における半古典的状態の正規化を、時間foliationの選択に依存しない形にできるか。
• RQ2 ディラックハミルトニアンにおけるlapseおよびシフト場が、外部から与えられるのではなく、量子構造から動的に出現させることは可能か。
• RQ3 行列値場 $M(x)$ がスペクトル三重項枠組みにおいて、foliationなどの幾何的構造を符号化する役割を果たすのはどのようなものか。
• RQ4 ホロノミー環の非可換性が、一般化されたオイラー・ディリクレ作用素とどのように作用し、整合的な半古典的極限を生じるか。
• RQ5 foliationの変更に対して不変な量子動的原理を定式化することは可能か。その形式はどのようなものになるか。

主な発見

• 一般化作用素 $D_M$ は、半古典的極限において3+1次元ディラックハミルトニアンを再現し、lapseおよびシフト場が行列場 $M(x)$ から出現する。
• 半古典的状態の内積は、lapseおよびシフト場に依存しなくなり、元の構成に見られた正規化問題が解消された。
• $\lim_{n\to\infty}\lim_{t\to 0}\langle \bar{\Phi}^t_n | D_M | \Phi^t_n \rangle$ の式は、零次の項を除きディラックハミルトニアンに一致し、従来の結果と一致するが、バックグラウンド独立性が向上している。
• $D_M D_M$ の混合項は、異なる頂点における行列 $M(i)$ と $M(j)$ が可換でない場合にのみ出現し、辺間をまたがる幾何的結合を可能にする。
• 制約 $D_A D_{BC} = D_{AB} D_C$ は、半古典的極限においてアインシュタイン方程式に対応する可能性がある量子動的原理の候補として提案される。
• モデルは4次元多様体に埋め込まれた空間的超曲面上の3次元理論として解釈され、スペクトル三重項構成の幾何的解釈が明確化される。