[論文レビュー] Emergent non-Hermitian contributions to the Ehrenfest and Hellmann-Feynman theorems

Georgios Konstantinou, Kyriakos Kyriakou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、多連結空間や周期的境界条件を有する系（例：アハロノフ＝ボーム効果やパラメータ空間における系）にエーレンフェストの定理とヘルマン＝ファインマンの定理を適用した場合、非エルミート的境界項が自然に出現することを示している。これらの項は一般化された電流とソース項を含む修正された連続の方程式から生じるが、それらにより長年の量子力学的パラドックス（例えば、ハイパーバイリ얼定理の見かけ上の違反）が解消され、非エルミートハミルトニアンを事前に仮定する必要なく定理の有効性が回復される。

ABSTRACT

We point out that two of the most important theorems of Quantum Mechanics, the Ehrenfest theorem and the Hellmann-Feynman theorem, lack in their standard form important information: there are cases where non-Hermitian boundary contributions emerge. These contributions actually appear naturally, in order for the above theorems to be valid and applicable (i.e. in multiply-connected spaces), and this occurs for physical quantities that are not represented by well-defined self-adjoint operators (such as the position operator in a periodic potential, or in general Aharonov-Bohm configurations, either in real or in an arbitrary parameter-space, in the sense of Berry's adiabatic and cyclic procedures). In this short note, we report modifications of these two theorems when such non-Hermiticities appear, and we demonstrate how they resolve certain Quantum Mechanical paradoxes (most of them having been noticed in the past as violations of the so-called Hypervirial theorem in Quantum Chemistry). This resolution of paradoxes (essentially the re-establishment of applicability of the Ehrenfest theorem even in multiply-connected spaces) always proceeds through the appearance of certain generalized currents, in a theoretical picture with interesting structure (where a generalized continuity equation with a sink term shows up naturally).

研究の動機と目的

• 多連結な量子系に適用された標準的なエーレンフェストの定理およびヘルマン＝ファインマンの定理の定式化に生じる不一致を特定し、解消すること。
• 周期的ポテンシャルやアハロノフ＝ボーム配置を有する系において、境界条件から自然に非エルミート的寄与が生じることを示すこと。
• ハイパーバイリアル定理に関連する特定の量子化学的応用において、定理が失敗していると見なされる状況において、これらの定理の有効性を回復すること。
• これらの非エルミート的効果がハミルトニアンの構造に起因するものではなく、トポロジー的および境界的構造に起因することを示すこと。
• ソース項を含む一般化された連続の方程式を用いて、これらの出現する寄与を記述する一般化された理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• トポロジカル制約に起因する非エルミート的境界寄与を含む修正されたエーレンフェストの定理およびヘルマン＝ファインマンの定理の導出。
• 多連結空間またはパラメータ空間における境界を越えるフラックスを記述する一般化された電流の導入。
• これらの境界寄与が存在する状況における保存則を記述する、ソース項を含む一般化された連続の方程式の定式化。
• 周期的境界条件やアハロノフ＝ボーム型構成を有する系に修正された定理を適用し、一貫性を検証すること。
• ベリーの断続的およびサイクリック幾何位相形式を用いて、パラメータ空間依存性と出現する非エルミート性を分析すること。
• 既知の量子化学的パラドックス（例：ハイパーバイリアル定理の違反）を、これらの出現する境界項の観点から分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的なエーレンフェストの定理およびヘルマン＝ファインマンの定理は、多連結な量子系では失敗しているように見えるのか？
• RQ2 これらの定理にどのような非エルミート的寄与が出現し、それらはどこから生じるのか？
• RQ3 周期的境界条件やアハロノフ＝ボーム効果を有する系において、これらの定理の有効性はどのように回復できるのか？
• RQ4 これらの非エルミート的寄与はハミルトニアンの構造に関係しているのか、それとも境界およびトポロジー的効果に起因するのか？
• RQ5 ソース項を含む一般化された連続の方程式は、このような系における量子力学的パラドックスの解消を説明できるか？

主な発見

• ハミルトニアンがエルミートであっても、多連結空間にエーレンフェストの定理およびヘルマン＝ファインマンの定理を適用した場合、非エルミート的境界寄与が自然に出現する。
• これらの寄与は一般化された電流に起因し、非エルミート的演算子ではなく、トポロジカルまたは周期的境界条件に起因する。
• 修正された定理により、ハイパーバイリアル定理が見かけ上違反しているとされた系においても一貫性が回復される。
• ソース項を含む一般化された連続の方程式は、これらの出現する非エルミート的効果が存在する状況における保存則を自然に記述する。
• 非エルミート的ハミルトニアンを導入することなく、境界寄与の適切な取り扱いによりパラドックスが解消される。
• 本研究の結果は、この文脈における非エルミート性が「出現的」かつ「トポロジカル的」であるが、根本的または現象論的ではないことを示している。