[論文レビュー] Emergent spacetime from purely random structures

Ioannis Kleftogiannis, Ilias Amanatidis|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2022

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、最小限の制約のもとで完全にランダムな均一なランダムグラフから、幾何学的性質（次元 D≈3 や曲率）が接続性から生じる、時空が純粋にランダムな構造から出現する可能性を提唱する。1ステップあたり1本の辺が除去される進化機構を用いることで、指数的拡張を示し、フラットで3次元に類似した幾何が出現する。さらに、統計的ゆらぎから時間遅延やハイゼンベルクの不確定性原理といった量子的・相対論的効果が導かれる。

ABSTRACT

We examine the fundamental question whether a random discrete structure with the minimal number of restrictions can converge to continuous metric space. We study the geometrical properties such as the dimensionality and the curvature emerging out of the connectivity properties of uniform random graphs. In addition we introduce a simple evolution mechanism for the graph by removing one edge per a fundamental quantum of time from an initially complete graph. We show an exponential growth of the radius of the graph, that ends up in a random structure with emergent average spatial dimension $D=3$ and zero curvature $K=0$, resembling a flat 3D manifold, that could describe the observed space in our universe and some of its geometrical properties. In addition, we introduce a generalized action for graphs based on physical quantities on different subgraph structures that helps to recover the well known properties of spacetime as described in general relativity, like time dilation due to gravity. Also, we show how various quantum mechanical concepts such as generalized uncertainty principles based on the statistical fluctuations can emerge from random discrete models. Moreover, our approach leads to a unification of space and matter-energy, for which we propose a mass-energy-space equivalence that leads to a way to transform between empty space and matter-energy via the cosmological constant.

研究の動機と目的

• 純粋にランダムな離散的構造が、幾何的性質を有する連続的時空を生じさせ得るかどうかを調査すること。
• 次元性、曲率、時間発展といった基本的な物理的概念が、均一なランダムグラフの接続性からどのように生じるかを探索すること。
• 提案された質量-エネルギー-空間の等価性を用いて、真空中と粒子との間の変換を可能にする、空間・物質・エネルギーの統一を図ること。
• 統計的ゆらぎに基づく離散的ランダムネットワークから、不確定性原理のような量子力学的原理を導出すること。
• 部分グラフの物理的量に基づく一般化されたグラフ作用に基づく作用原理から、時間遅延のような相対論的効果を回復すること。

提案手法

• n 個の頂点と、均等に分布する m 本の辺を持つ均一なランダムグラフ G=(V,E) を時空としてモデル化し、すべての構成の確率が等しい条件下でエントロピーを最大化する。
• 初期には完全グラフである状態から、1基本時間ステップごとに1本の辺を除去する時間発展機構を導入し、宇宙の拡張を模倣する。
• 部分グラフ V_j と物理的関数 f_i に対して、S_gr = ΣΣ a_ij f_i(V_j) で定義される一般化されたグラフ作用 S_gr を導入し、時空のダイナミクスを導出可能にする。
• 次数分布およびそのゆらぎを、幾何的・物理的量の代理として用い、エネルギー、次元、体積のゆらぎと結びつける。
• 熱力学的極限において、時間間隔における局所エネルギーの統計的分散を示すことにより、ΔEΔt ≥ ħ/2 としてハイゼンベルクの不確定性原理を導出する。
• 空間次元 D のゆらぎが有効質量に変換される質量-エネルギー-空間の等価性を提唱し、ΔW ∝ exp((ΔD ln L)^2) により、真空中のゆらぎから粒子の出現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の制約のもとで完全にランダムな離散的構造が、幾何的性質を有する連続的計量空間に収束し得るか？
• RQ2 均一なランダムグラフの接続性から、なぜ D≈3 およびゼロ曲率が生じるのか？
• RQ3 重力による時間遅延のような相対論的効果が、グラフに基づく作用原理から生じ得るか？
• RQ4 不確定性原理のような量子力学的原理が、離散的ランダムネットワーク内の統計的ゆらぎからどれほどまでに導出可能か？
• RQ5 ランダムグラフの真空中における次元および体積のゆらぎから、粒子および質量-エネルギー-空間の等価性はどのようにして出現するか？

主な発見

• 辺の除去による進化の下で、グラフ半径が指数関数的に増大し、大規模構造として D≈3 かつゼロ曲率のフラットな3次元多様体に類似した幾何が出現する。
• 均一なランダムグラフのエントロピーは R = (n−1)/4 でピークに達し、最大の無秩序が幾何的秩序の出現に対応する臨界な接続性領域を示す。
• ハイゼンベルクの不確定性原理 ΔEΔt ≥ ħ/2 は、時間間隔における局所エネルギーの統計的ゆらぎから自然に導出され、熱力学的極限で不等号が等号に達する。
• 次元のゆらぎ ΔD は対数正規分布の体積ゆらぎ ΔW をもたらし、次元の不確実性が高エネルギーおよび短時間スケールで検出可能である可能性を示唆する。
• 局所的に安定した 0次元および1次元の部分グラフ構造が出現し、点状およびストリング状の粒子に類似する。線形エネルギー分散 E = ħv_nt k により、相対論的質量ゼロ粒子に類似した振る舞いを示す。
• 質量-エネルギー-空間の等価性を提唱し、空間次元 D のゆらぎが有効質量に変換され、次元のゆらぎを介して真空中から物質が出現可能である。