[論文レビュー] Empirical and sequential empirical copula processes under serial dependence

Axel Bücher, Stanislav Volgushev|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、最小限の滑らかさ仮定の下で、厳密に定常で弱相関のある多次元時系列に対して、経験的および逐次的経験コプル過程の漸近理論を拡張する。関数的デルタ法を用いて、コプルの連続的偏微分を要件としない経験コプル過程およびその逐次的変種の弱収束を確立し、系列依存性下でも頑健な推論とブートストラップの一致性を可能にする。

ABSTRACT

The empirical copula process plays a central role for statistical inference on copulas. Recently, Segers (2011) investigated the asymptotic behavior of this process under non-restrictive smoothness assumptions for the case of i.i.d. random variables. In the present paper we extend his main result to the case of serial dependent random variables by means of the powerful and elegant functional delta method. Moreover, we utilize the functional delta method in order to obtain conditional consistency of certain bootstrap procedures. Finally, we extend the results to the more general sequential empirical copula process under serial dependence.

研究の動機と目的

• セーガーズ（2011）の経験コプル過程の弱収束結果を、厳密に定常で弱相関のある系列へ拡張すること。
• 関数的デルタ法を用いて、系列依存性下でのコプル推論のブートストラップ手順の条件付き一貫性を確立すること。
• ルシュエンドルフ（1976）の逐次的経験過程結果を、弱依存下での逐次的経験コプル過程へ一般化すること。
• 弱収束が成り立つための最小限の滑らかさ条件（コプルの連続性のみ）を提供し、実世界のコプルモデルへの適用可能性を向上させること。
• 関数的デルタ法の技術を活用して、時系列におけるコプルに基づく推論の既存の漸近理論を統合的かつ強化すること。

提案手法

• 関数的デルタ法を用いて、逐次的経験過程の弱収束を経験コプル過程の弱収束へ結びつける。
• 関数的デルタ法を用いて、最小限の滑らかさ下での逐次的経験コプル過程 C#_n および C+_n の弱収束を導出する。
• 最小限の仮定として、条件2.1（U_i 上での経験過程の弱収束）および条件3.1（逐次的経験過程の弱収束）を課す。
• ΨおよびΓのハダマール微分可能性を用いて、経験過程からコプル過程への弱収束の伝播を実現する。
• 極限分布をガウス場として導出：G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u) および G#_C(s,u) = B#_C(s,u) - s Σ ∂_p C(u) B#_C(1,u(p))。
• 経験分布関数の一般化逆関数および確率積分変換を用いて、経験コプルを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系列依存性下で、経験コプル過程が弱収束するための最小限の滑らかさ条件は何か？
• RQ2 コプルの微分可能性を仮定しない状況でも、関数的デルタ法を用いて逐次的経験コプル過程の弱収束を導出可能か？
• RQ3 弱依存下で、コプル推論のブートストラップ手順の条件付き一貫性はどのように示せるか？
• RQ4 弱依存および最小限の滑らかさ下で、逐次的経験コプル過程 C#_n および C+_n の極限分布は何か？
• RQ5 滑らかさ仮定なしに、任意のコプルへ結果を一般化可能か？

主な発見

• 条件3.1の下で、コプルCの滑らかさを要件としない経験コプル過程 √n(C_n - C) は、ガウス過程 G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u) に弱収束する。
• 逐次的経験コプル過程 C+_n(s,u) は、G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u) に弱収束し、極限過程は逐次的経験過程 B#_C に依存する。
• Cが条件2.3（偏微分可能性）を満たす場合、C#_n(s,u) は G#_C(s,u) = B#_C(s,u) - s Σ_p ∂_p C(u) B#_C(1,u_p) に弱収束する。
• 関数的デルタ法により、滑らかさ仮定なしにブートストラップの一貫性が達成可能であり、従来の連続的偏微分を要件としていた手法を改善する。
• 滑らかさの必要性を排除し、弱依存データへ拡張することで、セーガーズ（2011）およびドゥカン他（2009）の先行研究を一般化する。
• 極限分布は ℓ∞([0,1]^{d+1}) 上のガウス場であり、元の系列の依存構造から導かれる明示的な共分散構造を持つ。