[論文レビュー] Empirical distributions, geodesic lengths, and a variational formula in first-passage percolation

Erik Bates|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$Δ^d$ 上の i.i.d. 初期通過時刻遷移において、測地線に沿った経験的辺重み測度の弱収束を確立し、正則性仮定なしに時間定数の新しい変分公式を用いて、摂動、離散的、滑らかな連続的分布を含む広範な辺重み分布クラスに対して、決定的極限への収束を証明する。結果は無限測地線へと拡張され、測地線の挙動および長さ収束に関する長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

This article resolves, in a dense set of cases, several open problems concerning geodesics in i.i.d. first-passage percolation on $\mathbb{Z}^d$. Our primary interest is in the empirical measures of edge-weights observed along geodesics from $0$ to $n\xi$, where $\xi$ is a fixed unit vector. For various dense families of edge-weight distributions, we prove that these measures converge weakly to a deterministic limit as $n o \infty$, answering a question of Hoffman. These families include arbitrarily small $L^\infty$-perturbations of any given distribution, almost every finitely supported distribution, uncountable collections of continuous distributions, and certain discrete distributions whose atoms have any prescribed sequence of probabilities. Moreover, the constructions are explicit enough to guarantee examples possessing certain features, for instance: both continuous and discrete distributions whose support is all of $[0,\infty)$, and distributions given by a density function that is $k$-times differentiable. All results also hold for $\xi$-directed infinite geodesics. In comparison, we show that if $\mathbb{Z}^d$ is replaced by the infinite $d$-ary tree, then any weight distribution admits a unique limiting empirical measure along geodesics. In both the lattice and tree cases, our methodology is driven by a new variational formula for the time constant, which requires no assumptions on the edge-weight distribution. Incidentally, this variational approach also allows us to obtain new convergence results for geodesic lengths, which have been unimproved in the subcritical case since the seminal 1965 manuscript of Hammersley and Welsh.

研究の動機と目的

• 初期通過時刻遷移における $Δ^d$ 上の測地線に沿った経験的辺重み分布の極限挙動に関する未解決問題を解消すること。
• 辺重み分布の広範な条件下で、これらの経験的測度が決定的極限に弱収束することを確立すること。
• 収束結果を $Δ$-方向無限測地線および下臨界領域における測地線長へと拡張すること。
• 辺重み分布にいかなる仮定も必要としない時間定数の変分公式を構築すること。
• 無限 $d$-分岐木上で、任意の重み分布が測地線に沿って一意の極限経験的測度をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 任意の辺重み分布に対して有効であり、正則性仮定を一切要しない、初期通過時刻遷移における時間定数の新しい変分公式を導入すること。
• 変分公式を用いて測地線の漸近的挙動を分析し、経験的辺重み測度の収束を導出すること。
• 収束が成立する具体的な辺重み分布の例（連続的、離散的、所定の原点確率を有する）を構成すること。
• 変分的アプローチを用いて、下臨界ケースにおける測地線長の収束を証明し、ハマークリーとウェルシュ（1965年）の結果を改善すること。
• 格子と木の設定を比較する：無限 $d$-分岐木上では、任意の分布が測地線に沿って一意の極限経験的測度をもたらすことを示すこと。
• 弱収束技法および大偏差原理を活用して、$Δ^d$ 上の分布の稠密族に対する極限測度を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の分布に対する任意の $L^\infty$-摂動について、$n \to \infty$ のとき、$0$ から $n\xi$ への測地線に沿った経験的辺重み測度が弱収束して決定的極限に至るか？
• RQ2 与えられた分布の任意の小さな $L^\infty$-摂動に対しても、収束を保証できるか？
• RQ3 無限 $d$-分岐木上では、任意の辺重み分布に対して、極限経験的測度が一意的かつ決定的か？
• RQ4 時間定数の変分公式を用いて、下臨界領域における測地線長の収束結果を導出可能か？
• RQ5 辺重み分布の構造的特徴（例：連続性、微分可能性、台）のうち、測地線に沿った経験的測度の収束を保証するものは何か？

主な発見

• 経験的辺重み測度は、$0$ から $n\xi$ への測地線に沿って、すべての $L^\infty$-摂動を含む稠密な辺重み分布族に対して、弱収束して決定的極限に至る。
• 有限台を持つ分布のほとんどすべて、連続分布の非可算族、任意の所定の原点確率列を持つ離散分布に対して収束が成立する。
• 台が $[0,\infty)$ 上にある分布に対して、極限測度は決定的であり、明示的に構成可能である。これは連続的および離散的両ケースに適用可能である。
• 時間定数の変分公式は、辺重み分布にいかなる仮定も必要とせず有効であり、収束結果の導出を可能にする。
• 無限 $d$-分岐木上では、任意の辺重み分布が測地線に沿って一意の極限経験的測度をもたらすが、格子の場合とは異なり、条件の付加が必要でない。
• この手法により、下臨界領域における測地線長の収束に関する新たな結果が得られ、1965年のハマークリー–ウェルシュの境界を改善する。