[論文レビュー] Empirical measures of partially hyperbolic attractors

Sylvain Crovisier, Dawei Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元中心 bundle を持つ部分的双曲的吸引子における軌道の漸近的統計的挙動を調査し、中心のリーマン指数がほとんど everywhere で存在するが、経験的測度は収束しない可能性があることを証明する。Gibbs $u$-状態の存在を確立し、$C^{1+\beta}$微分同相写像で1次元中心を持つ場合、SRB測度が一意かつ物理的であり、時間平均に関する大偏差推定が成り立つことを示す。

ABSTRACT

In this paper, we study the limit measures of the empirical measures of Lebesgue almost every point in the basin of a partially hyperbolic attractor. They are strongly related to a notion named Gibbs u-state, which can be defined in a large class of diffeomorphisms with less regularity and which is the same as Pesin-Sinai's notion for partially hyperbolic attractors of $C^{1+α}$ diffeomorphisms. In particular, we prove that for partially hyperbolic $C^{1+α}$ diffeomorphisms with one-dimensional center, and for Lebesgue almost every point: (1) the center Lyapunov exponent is well defined, but (2) the sequence of empirical measures may not converge. We also give some consequences on SRB measures and large deviations.

研究の動機と目的

• 部分的双曲的吸引子に含まれる典型軌道の統計的挙動を理解すること。
• リーマン測度 almost everywhere の点に付随する経験的測度の収束性を分析すること。
• 低正則性の部分的双曲的系において、Gibbs $u$-状態が物理的測度を特徴付ける役割を明確にすること。
• トランスティヴ系において、SRB測度の一意性を確立し、時間平均に関する大偏差推定を得ること。

提案手法

• 部分的双曲的吸引子のバージョンにおいて、リーマン測度 almost everywhere の $ x $ に対して、経験的測度 $ m_{x,n} = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \delta_{f^i(x)} $ の極限挙動を分析する。
• 一般化されたペジン不等式を用いて、不安定束に沿ったヤコビアンを介して測度的エントロピーの下界を評価する。
• 不安定葉に沿った測度の分解を用いて定義されるGibbs $u$-状態の理論を適用し、物理的測度を特徴付ける。
• 不安定ラミネーションのリプシッツ正則性と [LeYo1] の結果を用いて、分解が不安定葉上でリーマン測度と等価であることを示す。
• 連続時間系を時間 $ t_0 $ の写像 $ \phi_{t_0} $ を用いて離散時間写像に還元し、エルゴディシティおよびSRB測度の一意性を活用する。
• 大偏差推定 [PuSh1] を時間平均観測量に適用し、平均から逸脱する集合の測度が指数関数的に減少することを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元中心をもつ $ C^{1+\alpha} $ 部分的双曲的吸引子において、バージョンのリーマン測度 almost everywhere の点に対して中心リーマン指数が存在するか？
• RQ2 中心リーマン指数が正しく定義されていても、経験的測度の列が収束しないことはあり得るか？
• RQ3 このような系において、一意な物理的（SRB）測度が存在する条件は何か？
• RQ4 トランスティヴな部分的双曲的流れにおいて、連続観測量の時間平均に関してどのような大偏差推定が成り立つか？
• RQ5 $ C^{1+\alpha} $ 様式において、Gibbs $u$-状態とペジン＝シンアイのSRB測度の関係は何か？

主な発見

• $ C^{1+\alpha} $ 微分同相写像で、部分的双曲的分解 $ E^{ss} \oplus E^c \oplus E^{uu} $ を持ち、$ \dim E^c = 1 $ である場合、バージョンのリーマン測度 almost everywhere の $ x $ に対して中心リーマン指数 $ \lambda^c(x) $ が存在する。
• $ \lambda^c(x) \neq 0 $ のとき、$ x $ の軌道は双曲的で、エルゴディックかつ物理的測度のバージョンにある。
• 1次元中心をもつ $ \mathbb{T}^3 $ 上の $ C^\infty $ トランスティヴ微分同相写像が存在し、リーマン測度 almost everywhere の点が稠密な軌道を持ち、経験的測度が収束しない。
• 一意なエルゴディックなGibbs $u$-状態をもつ、特異的双曲的吸引子に対してSRB測度は一意であり、そのバージョンはリーマン測度の全測度を占める。
• 任意の連続観測量 $ \psi $ に対して、時間平均は指数的の大偏差推定を満たす：平均から逸脱する集合のリーマン測度は時間とともに指数関数的に減少する。
• 一意なSRB測度 $ \mu $ は一意な物理的測度であり、リーマン測度 almost everywhere の $ x $ に対して、経験的測度 $ \frac{1}{t} \int_0^t \delta_{\phi_s(x)} ds $ は $ t \to \infty $ のとき弱収束して $ \mu $ に収束する。