[論文レビュー] Empirical processes of dependent random variables

Wei Biao Wu|ArXiv.org|Dec 14, 2004

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 68被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、強い混合条件に依存せずに、マーティングゲールアプローチを用いて、定常的かつ因果的で依存する確率変数の経験過程について、弱収束および経験中心極限定理を確立する。短記憶的依存性の下で、極限分布は√n正規化のもとでガウス過程であることが示され、最適なモーメント条件のもとで、i.i.d. モデルにおけるDonsker型定理が依存的設定へと拡張される。

ABSTRACT

Empirical processes for stationary, causal sequences are considered. We establish empirical central limit theorems for classes of indicators of left half lines, absolutely continuous functions and piecewise differentiable functions. Sample path properties of empirical distribution functions are also discussed. The results are applied to linear processes and Markov chains.

研究の動機と目的

• 強い混合条件に依存しない、定常的かつ因果的で依存する系列の経験過程の弱収束理論を構築すること。
• 左半直線の指示関数、絶対連続関数、および区分的微分可能な関数の関数族を含む、経験中心極限定理を確立すること。
• 特に線形過程およびマルコフ連鎖に対して、短記憶的および長記憶的依存性の下での経験過程の極限挙動を特定すること。
• ガウス過程への弱収束を保証するための、一様収束性および有限次元収束の条件を提供すること。
• 依存的設定における弱収束のための最適またはほぼ最適なモーメント条件を導出すること。

提案手法

• 経験過程を測度可能な成分に分解するために、マーティングゲール差分表現を適用し、最大不等式および積分不等式の適用を可能にする。
• G が非可算である場合の可測性の問題を扱うために、ℓ∞(G) 上の外期待値および弱収束枠組みを用いる。
• 関数族のエントロピーおよびメトリックエントロピーを制御するために、ソボレフ型クラスおよび重み付きL2ノルムを用いる。
• エントロピー積分の境界およびプロセスの尾部挙動に関するモーメント条件を通じて、特にハーディーの不等式を用いて、一様収束性を確立する。
• 長記憶的依存線形過程のための漸近展開を適用し、√n正規化の極限定理を導出する。
• 関数族の変動が制御されたクラスにおける経験過程の上界を制御するために、二分分割および切断戦略を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常的かつ因果的で依存する系列の経験過程が、どのような条件下でガウス過程に弱収束するか。
• RQ2 i.i.d. 系列における古典的Donsker定理が、強い混合仮定なしに依存的プロセスへと拡張可能か。
• RQ3 モーメント条件および依存構造（短記憶的対長記憶的）が、経験過程の正規化および極限分布に与える影響は何か。
• RQ4 ソボレフ型クラスおよび重み付きノルムが、依存下での経験過程の一様収束性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 最大不等式および積分不等式を、非i.i.i.d. 関数族にインデックスされた経験過程の上界を制御するためにどのように適合可能か。

主な発見

• 短記憶的依存性を持つ定常的因果的プロセスにおいて、左半直線の指示関数にインデックスされた経験過程は、√n正規化のもとでブラウン運動ブリッジに弱収束する。
• 最適なモーメント条件のもとで、絶対連続関数および区分的微分可能な関数に対して経験中心極限定理が確立される。
• 導出されたエントロピー積分の境界および導関数のL2ノルムが制御されたソボレフ型関数クラスの使用を通じて、経験過程の一様収束性が証明される。
• 有限次元収束および一様収束性の下で、極限ガウス過程はℓ∞(G) 上の弱収束として現れ、可測性を保証するために外期待値が用いられる。
• 長記憶的依存線形過程では、√n正規化の極限定理を得るために漸近展開が必要であり、これはi.i.i.d. の場合とは異なることを示している。
• Gγ,μおよびHη,δのようなクラスにおける経験過程の上界が、切断の増加に伴い確率的に消失するような条件が導出され、一様収束性が保証される。