[論文レビュー] Empty Rectangles and Graph Dimension

Stefan Felsner|ArXiv.org|Jan 31, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、平面におけるn個の一般位置にある点からなる長方形グラフの最大辺数を⌊n²/4 + n − 2⌋として特定し、その値は軸に平行な空の長方形を張る点のペア同士の辺によって達成される。この結果は、直交する曲面と4次元多面体を通じて、幾何的グラフ理論、順序型の次元、Scarfsの定理を結びつけるものであり、長方形グラフの極値的点集合とScarf複体における1次元面の極値的点集合が一致することを示している。

ABSTRACT

We consider rectangle graphs whose edges are defined by pairs of points in diagonally opposite corners of empty axis-aligned rectangles. The maximum number of edges of such a graph on $n$ points is shown to be 1/4 n^2 +n -2. This number also has other interpretations: * It is the maximum number of edges of a graph of dimension $\bbetween{3}{4}$, i.e., of a graph with a realizer of the form $π_1,π_2,\ol{π_1},\ol{π_2}$. * It is the number of 1-faces in a special Scarf complex. The last of these interpretations allows to deduce the maximum number of empty axis-aligned rectangles spanned by 4-element subsets of a set of $n$ points. Moreover, it follows that the extremal point sets for the two problems coincide. We investigate the maximum number of of edges of a graph of dimension $\between{3}{4}$, i.e., of a graph with a realizer of the form $π_1,π_2,π_3,\ol{π_3}$. This maximum is shown to be $1/4 n^2 + O(n)$. Box graphs are defined as the 3-dimensional analog of rectangle graphs. The maximum number of edges of such a graph on $n$ points is shown to be $7/16 n^2 + o(n^2)$.

研究の動機と目的

• 点のペアが空の軸に平行な長方形を張る場合にのみ辺が存在する、平面におけるn個の一般点からなる長方形グラフの最大辺数を特定すること。
• 幾何的長方形グラフ、順序型の次元（特に次元[3↓4]）および直交曲面に関するScarfsの定理との関係を確立すること。
• 長方形グラフの辺数とScarf複体における1次元面の数を両方とも最大にする極値的点集合を特徴づけること。
• 2次元の長方形グラフの結果を3次元ボックスグラフに拡張し、その辺密度を分析すること。

提案手法

• 点のペアが空の軸に平行な長方形を張る場合にのみ辺が存在する長方形グラフを定義し、開内部に他の点が存在しない場合に限り辺を有するものとする。
• 組合せ幾何学と双対性を用いて、空の長方形を4次元多面体から導かれるScarfs複体における1次元面に関連付ける。
• 4次元多面体の面数に関するEuler-Poincaréの公式と二重数え上げの技法を用い、span₂(X)、span₃(X)、span₄(X)、exposed(X)の間の線形関係を導出する。
• 無限に伸びる辺を有する一般化された空の長方形を導入し、Scarfs複体における1次元面と3次元面の数を数える。過剰数え上げを補正するために露出点を用いる。
• 懸垂頂点と直交ハルの概念を用いて、無限に伸びる長方形の拡張をモデル化し、面の数を導出する。
• 3次元ボックスグラフを長方形グラフの3次元版として分析し、辺数の上限を7n²/16 + o(n²)として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n個の一般点からなる平面における長方形グラフの最大辺数は何か？ここで辺は軸に平行な空の長方形を張る点のペアに対応する。
• RQ2 サイズ2, 3, 4の空の長方形の数は、点集合における直交的に露出した点の数とどのように関係しているか？
• RQ3 次元[3↓4]の長方形グラフとScarfs複体の面構造の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 長方形グラフの辺数を最大にする極値的配置は、4次元多面体の面構造とどのように関係しているか？
• RQ5 3次元ボックスグラフ（長方形グラフと同様に定義される）の最大辺数は何か？

主な発見

• n個の一般点からなる長方形グラフの最大辺数は、正確に⌊n²/4 + n − 2⌋であり、この境界はタイトである。
• 同じ境界は次元[3↓4]のグラフに対しても適用可能であり、すなわちπ₁, π₂, π₃, ḡπ₃の形のリーダーを有するものである。
• 点集合に関連するScarfs複体における1次元面の数は⌊n²/4 + n − 2⌋に等しく、幾何的構造と代数的構造との間の直接的な対応関係を示している。
• 4要素の部分集合が空の長方形を形成する（span₄(X)）数は、長方形グラフの辺数を最大にする同じ極値的点集合で最大値に達する。
• n点からなる3次元ボックスグラフの最大辺数は7n²/16 + o(n²)であり、2次元の場合よりも高い密度であることが示された。
• すべての一般点集合に対して、線形関係式 span₂(X) − span₄(X) + exposed(X) = 3(n−1) および 2·span₂(X) − span₃(X) + exposed(X) = 4(n−1) が成り立つ。