[論文レビュー] Empty Squares in Arbitrary Orientation Among Points

Sang Won Bae, Sang Duk Yoon|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、平面上のn個の点の集合において、任意の向きを持つ空の正方形の組合せ的・アルゴリズム的性質を調査する。4つの接触ペアを持つ空の正方形の数に対して、Ω(n)からO(n²)までのタイトな境界を確立し、すべての such 正方形をO(s∗ log n)時間、O(n)の記憶領域で計算する、新しい出力に依存するアルゴリズムを提案する。さらに、この手法を用いて最大空正方形問題および最小正方形アニュラス問題をO(n² log n)時間で解き、従来の結果を著しく改善する。

ABSTRACT

This paper studies empty squares in arbitrary orientation among a set $P$ of $n$ points in the plane. We prove that the number of empty squares with four contact pairs is between $Ω(n)$ and $O(n^2)$, and that these bounds are tight, provided $P$ is in a certain general position. A contact pair of a square is a pair of a point $p\in P$ and a side $\ell$ of the square with $p\in \ell$. The upper bound $O(n^2)$ also applies to the number of empty squares with four contact points, while we construct a point set among which there is no square of four contact points. These combinatorial results are based on new observations on the $L_\infty$ Voronoi diagram with the axes rotated and its close connection to empty squares in arbitrary orientation. We then present an algorithm that maintains a combinatorial structure of the $L_\infty$ Voronoi diagram of $P$, while the axes of the plane continuously rotates by $90$ degrees, and simultaneously reports all empty squares with four contact pairs among $P$ in an output-sensitive way within $O(s\log n)$ time and $O(n)$ space, where $s$ denotes the number of reported squares. Several new algorithmic results are also obtained: a largest empty square among $P$ and a square annulus of minimum width or minimum area that encloses $P$ over all orientations can be computed in worst-case $O(n^2 \log n)$ time.

研究の動機と目的

• 一般位置にあるn個の点の間で、4つの接触ペアを持つ空の正方形の最大数を特定すること。
• 出力に依存する時間で、このようなすべての空正方形を効率的に計算するアルゴリズムの開発。
• 得られた結果を応用して、より高い時間計算量で最大空正方形および最小正方形アニュラス問題を解くこと。
• 回転した軸におけるL∞ボロノイ図と空正方形の組合せ的構造との間の関係を確立すること。
• 任意の向きに対して、O(log n)時間で最大空正方形クエリに応答できるデータ構造の提供。

提案手法

• 座標軸を連続的に回転させたL∞ボロノイ図を用いて、任意の向きの空正方形をモデル化する。
• 回転したL∞ボロノイ図における各組合せ的変化が、4つの接触ペアを持つ空正方形に対応することを証明する。
• 90度の回転中に、回転したL∞ボロノイ図の組合せ的構造を維持し、すべての such 正方形を捉える。
• 永続的データ構造を用いて、さまざまな向きにおけるボロノイ図を保存し、クエリ処理に必要な記憶領域をO(s⁴)に削減する。
• 上昇包絡線の解析を通じて、最大空正方形および最小幅／面積の正方形アニュラスを計算するフレームワークを適用する。
• 3次順序のDavenport–Schinzel列を用いて、可能な空正方形半径の上昇包絡線の複雑さを制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般位置にあるn個の点の間で、4つの接触ペアを持つ空正方形が最大でいくつ存在できるか？
• RQ2 座標軸を連続的に回転させる過程で、任意の向きにおける空正方形の組合せ的構造を効率的に維持する方法は何か？
• RQ3 従来のO(n³)時間よりも速く、任意の向きにおける最大空正方形を計算できるか？
• RQ4 すべての向きにわたって、与えられた点集合を囲む最小幅または最小面積の正方形アニュラスを求める計算量の複雑さは何か？
• RQ5 任意の向きに対して、効率的なデータ構造を構築し、最大空正方形クエリをO(log n)時間で応答できるか？

主な発見

• 4つの接触ペアを持つ空正方形の数は、Ω(n)からO(n²)の間で抑えられ、一般位置の点集合において両境界がタイトであることが示された。
• 出力に依存するアルゴリズムにより、すべての such 正方形をO(s∗ log n)時間、O(n)の記憶領域で計算可能であり、s∗は報告された正方形の数を表す。
• 任意の向きにおける最大空正方形は、O(n² log n)時間で計算可能であり、従来のO(n³)アルゴリズムを改善した。
• 点集合を囲む最小幅または最小面積の正方形アニュラスは、O(n² log n)時間で計算可能であり、従来のO(n³)およびO(n³ log n)手法を改善した。
• サイズO(n²α(n))のデータ構造により、与えられた向きにおける最大空正方形クエリをO(log n)時間で応答可能である。
• 回転したL∞ボロノイ図における組合せ的変化の総数はΘ(s∗)であることが示され、図の動的変化と空正方形の列挙との直接的な関連が確立された。