[論文レビュー] Encoding 2-D Range Maximum Queries

Mordecai J. Golin, John Iacono+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、2次元範囲最大値クエリ（2D-RMQ）の有効エントロピーに対するきつい上限を提示し、ランダム行列では期待的に O(N) ビットの符号化で十分であり、小さな行数の行列（固定された m）では正確なエントロピー上限が達成されることを示している。また、マイクロツリー分解と圧縮表現を用いた効率的なデータ構造を導入し、理論的最小値に近い空間使用量で O(k)-時間クエリを実現している。

ABSTRACT

We consider the \emph{two-dimensional range maximum query (2D-RMQ)} problem: given an array $A$ of ordered values, to pre-process it so that we can find the position of the smallest element in the sub-matrix defined by a (user-specified) range of rows and range of columns. We focus on determining the \emph{effective} entropy of 2D-RMQ, i.e., how many bits are needed to encode $A$ so that 2D-RMQ queries can be answered \emph{without} access to $A$. We give tight upper and lower bounds on the expected effective entropy for the case when $A$ contains independent identically-distributed random values, and new upper and lower bounds for arbitrary $A$, for the case when $A$ contains few rows. The latter results improve upon previous upper and lower bounds by Brodal et al. (ESA 2010). In some cases we also give data structures whose space usage is close to the effective entropy and answer 2D-RMQ queries rapidly.

研究の動機と目的

• 2D-RMQの有効エントロピー、すなわち元のデータにアクセスせずに最大値クエリに答えるために必要な最小ビット数を特定すること。
• Brodal らの結果に比べ、特にランダム入力および行数が小さい行列（固定された m）に対して、より良い上限を得ること。
• 有効エントロピーに近い空間使用量を実現する実用的なデータ構造を設計し、効率的なクエリ解決を可能にすること。
• これらの結果が、短縮データ構造や、圧縮サフィックス配列、OLAPキューブなどの応用分野に与える影響を検討すること。

提案手法

• 2次元配列をチャンクに分解するマイクロツリー分解を提案。各マイクロツリーは、2次元配列上に構築されたカルテシアンツリーの部分木を表す。
• 親子関係および部分木構造を符号化するビットベクトル M を用い、サイズに比例する時間で任意のマイクロツリーを再構築可能にする。
• バランスドパarenthesis列と補助構造（例：FID、rank/select）を用いて、マイクロツリーおよびその構成チャンクの高速なナビゲーションと特定を実現。
• 保存されたビットベクトル M と補助構造を用いて、マイクロツリーを必要に応じて再構築し、kサイズのマイクロツリーに対して O(k) クエリ時間を達成。
• マイクロツリーとチャンク境界の圧縮表現を、ビットベクトル B1 と B2 を用いて統合。これらは FID 構造を介して保存され、O(n log k / k) ビットの空間使用量を達成。
• 各マイクロツリーを、上部と下部の行の最大値を比較することで再帰的に構築する階層的分解戦略を採用。これにより、正しいツリー構造の再構築が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 一様値をもつランダム行列における 2D-RMQ の有効エントロピーは何か？
• RQ2 固定された小さな行数（m = O(1)）の行列では、有効エントロピーはどのようにスケーリングするか？
• RQ3 有効エントロピーに近い空間使用量を実現するデータ構造を設計できるか？ また、それにより高速な 2D-RMQ クエリが可能か？
• RQ4 本稿の新しい上限は、Brodal らの Ω(N log m) 下限と O(N min{m, log n}) 上限をどのように改善しているか？
• RQ5 2D-RMQ の符号化モデルにおいて、空間使用量とクエリ時間のトレードオフは何か？

主な発見

• i.i.d. 一様値をもつランダム行列では、有効エントロピーは期待的に O(N) ビットであり、Ω(N log m) の最悪ケース下限に比べて顕著に低い。
• 固定された m に対して、本稿では有効エントロピーのきつい上限と下限を提供し、Brodal らの結果を改善。特に小さな m に対して正確な定数を特定した。
• 提案されたデータ構造は、任意の k = (log n)^O(1) に対して 5n + O(n log k / k) ビットの空間使用量を実現。理論的最小値に非常に近い。
• クエリ時間はマイクロツリーあたり O(k) であり、1回のクエリでアクセスされるマイクロツリーは O(1) 個であるため、合計クエリ時間は O(k) となる。
• 圧縮されたビットベクトルからマイクロツリーを動的かつ再構築可能であり、完全なマイクロツリー表現を保存せずとも、効率的なオンデマンドアクセスが可能。
• 実用的入力（例：OLAPキューブ）は、最悪ケースの境界値よりも顕著に少ない空間で符号化可能であることが示された。特に m が小さい、またはデータがランダムな場合に顕著である。