[論文レビュー] Encoding Cardinality Constraints using Generalized Selection Networks

Michał Karpiński, Marek Piotrów|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Rough Sets and Fuzzy Logic被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、2-sorter（コンパレータ）の代わりにm ≥ 2のm-sorterを用いることで、ブール論理的基数制約をより効率的に符号化する2つの新しい一般化選択ネットワーク族—m-Wise選択ネットワークおよびm-Odd-Even選択ネットワーク—を提案する。入力をm列に再帰的に分割し、各列でk番目に大きな要素を選び、多路マージにより統合することで、CNF符号化における補助変数および節の数を削減し、特に大きなkおよびnに対して顕著な高速化を達成する。実験では4-Odd-Even選択ネットワークが、最先端の符号化手法を上回る性能を示した。

ABSTRACT

Boolean cardinality constraints state that at most (at least, or exactly) $k$ out of $n$ propositional literals can be true. We propose a new class of selection networks that can be used for an efficient encoding of them. Several comparator networks have been proposed recently for encoding cardinality constraints and experiments have proved their efficiency. Those were based mainly on the odd-even or pairwise comparator networks. We use similar ideas, but we extend the model of comparator networks so that the basic components are not only comparators (2-sorters) but more general $m$-sorters, for $m \geq 2$. The inputs are organized into $m$ columns, in which elements are recursively selected and, after that, columns are merged using an idea of multi-way merging. We present two algorithms parametrized by $m \geq 2$. We call those networks $m$-Wise Selection Network and $m$-Odd-Even Selection Network. We give detailed construction of the mergers when $m=4$. The construction can be directly applied to any values of $k$ and $n$. The proposed encoding of sorters is standard, therefore the arc-consistency is preserved. We prove correctness of the constructions and present the theoretical and experimental evaluation, which show that the new encodings are competitive to the other state-of-art encodings.

研究の動機と目的

• 2-sorter（コンパレータ）のみを用いる従来の比較器ネットワークの一般化として、m ≥ 2のm-sorterを用いることで、基数制約を符号化する新しい選択ネットワークのクラスを開発すること。
• 基数制約のCNF符号化における補助変数および節の数を削減し、SATソルバの効率を向上させること。
• 先行研究で見られるハイブリッド符号化における分割点の最適化にかかるコストを回避すること。
• 標準的なmスキャナ符号化によりアーク一貫性を維持し、SATソルバとの互換性を保証すること。
• 実世界のベンチマークスイート上で新しい符号化手法の実用的性能を評価し、最先端の手法と比較すること。

提案手法

• 本手法は分割統治戦略を用いる：入力をm列に分割し、各列でm-sorterを用いて再帰的にk番目に大きな要素を選択する。
• 各列から選択された部分列は、多路マージネットワークを用いて統合され、m = 4の場合の詳細な構築法が提示されている。
• 2種類の異なるマージングネットワークが導入されている：4-Wiseマージングネットワーク（Gaoらの多路マージングに基づく）および4-Odd-Evenマージングネットワーク（Batcherの奇数偶数マージングの一般化）。
• m-sorterの符号化は標準的であり、アーク一貫性を保ち、効率的なSATソルビングを可能にする。
• 本構築法はパラメータ化されており、任意のkおよびnに対して有効であり、小規模な部分問題に対して直接符号化と統合可能である。
• 先行研究の制限である2の累乗サイズの入力制限を回避し、より広範に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m ≥ 2の一般化されたm-sorterを用いることで、従来の2-sorterネットワークに比べて、基数制約の符号化をより効率的に行えるか？
• RQ2 m = 4の多路マージングを用いることで、2列のペアワイズまたは奇数偶数ネットワークと比較して、CNF符号化における変数および節の数を削減できるか？
• RQ3 分割点の最適化に高コストがかかるのを回避しつつ、新しい符号化がより良いSATソルバの性能を達成できるか？
• RQ4 4-Odd-Even選択ネットワークは、大きなkおよびnにおいて、標準の奇数偶数選択ネットワークと比較して、変数および節の数の点でより効率的か？
• RQ5 一般化された選択ネットワークアプローチはアーク一貫性を維持し、SATソルビングにおける段階的強化を可能にするか？

主な発見

• 4-Odd-Even選択ネットワークは、十分に大きなkおよびnにおいて、標準の奇数偶数選択ネットワークと比較して、CNF符号化における変数および節の数を削減した。
• MSU4ベンチマークスイートにおいて、4-Odd-Even選択ネットワークはCS符号化と比較して、2倍の高速化を達成し、タイムアウトが50％減少した。
• MSU4スイートにおいて、4-Wise選択ネットワークはPCN符号化を上回り、合計実行時間を約18,000秒（5時間）短縮し、タイムアウトは75％削減した。
• PB15スイートでは、4OEが最も高速な符号化であり、CSと比較して20,000秒以上速く、合計実行時間は他の符号化と1％以内に収まったが、解法能力において顕著に優れていた。
• カタスプロットの結果、4OEはMSU4を含め、すべての符号化手法と比較してより多くのインスタンスを速やかに解いており、特にMSU4では顕著な優位性を示した。4WISEは2番目に優れたパフォーマンスを発揮した。
• 一般化された選択ネットワークに基づく符号化は実用的性能において優れており、顕著な高速化とリソース使用量の削減を達成し、既存の最先端手法に対する実用的優位性を裏付けた。