[論文レビュー] Encoding-dependent generalization bounds for parametrized quantum circuits

C. Matthias, Elies Gil-Fuster+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 62被引用数 94

ひとこと要約

この論文は、三角関数多項式表現と統計的学習理論を用いて、データ符号化戦略に明示的に依存するパラメータ付き量子回路（PQC）の一般化境界を導出する。一般化性能が符号化の周波数スペクトルに直接影響を受けることが示され、周波数の利用可能数の多項式スケーリングを伴う構造的リスク最小化により、データ符号化戦略の選択が可能になる。

ABSTRACT

A large body of recent work has begun to explore the potential of parametrized quantum circuits (PQCs) as machine learning models, within the framework of hybrid quantum-classical optimization. In particular, theoretical guarantees on the out-of-sample performance of such models, in terms of generalization bounds, have emerged. However, none of these generalization bounds depend explicitly on how the classical input data is encoded into the PQC. We derive generalization bounds for PQC-based models that depend explicitly on the strategy used for data-encoding. These imply bounds on the performance of trained PQC-based models on unseen data. Moreover, our results facilitate the selection of optimal data-encoding strategies via structural risk minimization, a mathematically rigorous framework for model selection. We obtain our generalization bounds by bounding the complexity of PQC-based models as measured by the Rademacher complexity and the metric entropy, two complexity measures from statistical learning theory. To achieve this, we rely on a representation of PQC-based models via trigonometric functions. Our generalization bounds emphasize the importance of well-considered data-encoding strategies for PQC-based models.

研究の動機と目的

• PQCベースのモデルにおける既存の一般化境界が、データ符号化戦略に明示的に依存していないという問題に対処すること。
• 厳密な複雑さの指標を用いて、構造的リスク最小化による原理的なデータ符号化戦略の選択を可能にすること。
• 特にデータ再アップロードを含む回路において、符号化のアーキテクチャ的ハイパーパrameterに依存する一般化境界を導出すること。
• 三角関数多項式表現の周波数スペクトル解析を通じて、PQCの表現力と一般化性能の関係を明らかにすること。

提案手法

• データ符号化戦略と周波数スペクトルの複雑さを結びつけるために、PQCベースのモデルを一般化された三角関数多項式（GTP）として表現すること。
• 利用可能な周波数の数を複雑さの指標として用いて、GTPのラデマッハ複雑さとメトリックエントロピーを評価すること。
• 符号化固有のハイパーパrameter（例：データ符号化ゲートの数）に明示的に依存する一般化境界を導出すること。
• ダドリーの定理とタラグランの補題を用いて、メトリックエントロピーを介して経験的ラデマッハ複雑さを評価すること。
• 構造的リスク最小化を用いて、経験的リスクと符号化依存一般化境界を組み合わせ、モデル選択を行うこと。
• 符号化ゲート数に対して利用可能な周波数が多項式スケーリングする、自然なデータ符号化戦略を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ符号化戦略の選択が、PQCベースのモデルの一般化性能にどのように影響するか？
• RQ2 符号化固有のアーキテクチャ的ハイパーパrameterに明示的に依存する一般化境界を導出できるか？
• RQ3 PQCのGTP表現の周波数スペクトルとその一般化能力の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 符号化依存一般化境界は、実際のモデル選択をどのように支援できるか？
• RQ5 導出された一般化境界が意味を持つ領域はどこか？また、回路の深さやゲート数にのみ依存する境界と比べてどう異なるか？

主な発見

• 一般化境界が、GTP表現における利用可能な周波数の数に明示的に依存するPQCベースのモデルについて導出された。
• 境界は利用可能な周波数の数の平方根に比例するスケーリングを示し、符号化設計と一般化性能の直接的な関係を示している。
• さまざまな自然なデータ符号化戦略において、利用可能な周波数の数は符号化ゲート数に対して多項式スケーリングされ、結果として多項式スケーリングする一般化境界が得られる。
• 導出された境界により、経験的リスクと一般化リスクを組み合わせた構造的リスク最小化を用いた符号化依存モデル選択が可能になる。
• 結果は、表現力が向上する知られているデータ再アップロードを含むPQCアーキテクチャに適用可能であり、「符号化を最初に実行する」モデルに限定されない。
• 境界は、パrameter数が訓練サンプル数未満である中程度の複雑さの領域で最も意味を持つと予想される。