[論文レビュー] Encoding points on hyperelliptic curves over finite fields in deterministic polynomial time

Jean-Gabriel Kammerer, Reynald Lercier+1 more|May 10, 2010

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、根に根号を用いた可解多項式に基づき、有限体上の genus 2 の超楕円曲線への決定的多項式時間符号化関数を初めて提示する。ガロア理論と代数的パラメータ化を活用することで、ペairリングベースの暗号に適した効率的で安全な符号化を実現し、従来の楕円曲線への応用を、証明可能かつ安全な性質を備えた高 genus 曲線へと拡張する。

ABSTRACT

We present families of (hyper)elliptic curve which admit an efficient deterministic encoding function.

研究の動機と目的

• 有限体から超楕円曲線の有理点への決定的で効率的な符号化関数を構築すること、特に暗号的用途を想定して。
• 従来、楕円曲線に限定されていた Icart 型符号化を、genus 2 およびそれ以上の genus の超楕円曲線へと拡張すること。
• Brier らの定義における「弱符号化」であることを保証し、暗号的ハッシュ関数と組み合わせることで、ランダムオракルから無差別化可能な符号化を可能にすること。
• 根に根号を用いて表現可能な代数的パラメータ化を可能にする、ガロア群が可解であるような曲線の族を同定すること。
• Kümmer 理論と次数 >3 の可解多項式を用いて、高 genus 曲線へとこの手法を一般化すること。

提案手法

• 可解なガロア群を有するパラメトリック多項式（例：次数 3 や 5）から出発し、その根が根号で表現可能であることを前提とする。
• 根の根号表現を活用して、特に高次方程式における De Moivre 型恒等式を用いて、曲線上の点を代数的にパラメータ化する。
• 符号化写像を構築するため、座標を根の抽出によって得られる補助方程式（例：二次方程式や五次方程式）を解く。
• genus 2 曲線では、曲線の構造 $ y^2 = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx + d $ を活用し、根号を用いた可解五次方程式への還元により点の構成を実現する。
• 体の条件 $ q \equiv 2 \pmod{3} $ および $ \gcd(q, 2g+1) = 1 $ を活用して、べき乗写像の全単射性を保証し、決定的な根の抽出を可能にする。
• 符号化写像から得られる $ g $ 個の点を組み合わせて、逆元チェックにより衝突を排除し、Galois 共役を用いて $ \mathbb{F}_q $-有理性を確保する、ジャコビアン上の除数を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的パラメータ化を用いて、有限体上の genus 2 超楕円曲線への決定的で多項式時間の符号化関数を構築可能か？
• RQ2 どのような超楕円曲線族が、点の構築に根号に基づく根の表現を可能にする可解なガロア群を有するか？
• RQ3 Kümmer 理論と可解多項式を用いて、楕円曲線から高 genus 曲線への符号化手法をどのように一般化できるか？
• RQ4 どのような体の条件（例：$ q \equiv 2 \pmod{3} $）のもとで、べき乗写像を全単射にでき、決定的な根の抽出が可能になるか？
• RQ5 提案された符号化関数をハッシュ関数と組み合わせることで、ランダムオラクルから無差別化可能な暗号的ハッシュ-トゥ-カーブ関数を構築可能か？

主な発見

• 本稿は、有限体上の genus 2 超楕円曲線への決定的多項式時間符号化を初めて提示し、重要な暗号的目標を達成した。
• ヘシアン楕円曲線に対しては、立方根の解を用いた新しい符号化写像が導出され、特定の曲線族において Icart の手法を改善した。
• 本手法は genus $ g \geq 2 $ へと一般化可能であり、次数 $ 2g+1 $ の可解多項式に基づく、決定的代数的符号化を有する超楕円曲線の族を提供する。
• 符号化写像の像は十分に大きく、『弱符号化』とみなせるため、暗号的ハッシュ関数と組み合わせることで、ランダムオラクルから無差別化可能なハッシュ関数を構築可能である。
• 符号化は効率的であり、$ q \equiv 2 \pmod{3} $ や $ \gcd(q, 2g+1) = 1 $ といった体の条件を活用して、根の抽出に適した全単射べき乗写像を保証する。
• ジャコビアンへの符号化のための2つの戦略を提案：1) $ \mathbb{F}_q $-有理点への直接符号化、2) $ \mathbb{F}_{q^g} $ への拡張符号化と、Galois 共役を用いた $ \mathbb{F}_q $-有理除数への回復。