[論文レビュー] Encoding spatial data into quantum observables

Artur Sowa|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二重周期的一般関数から量子観測可能量へのユニタリ同型写像であるQ変換を導入し、開放量子系のダイナミクスを古典的非局所的進化に再定式化することを可能にする。Sobolev空間における初期値問題の適切性を証明し、リーマン・ゼータ関数の零点の均等分布に関連する、新たな現象「バンド幅冗長性」を同定する。この現象は、量子情報の安定性および古典的・量子的ハイブリッド系に影響を与える。

ABSTRACT

The focus of this work is a correspondence between the Hilbert space operators on one hand, and doubly periodic generalized functions on the other. The linear map that implements it, referred to as the Q-transform, enables a direct application of the classical Harmonic Analysis in a study of quantum systems. In particular, the Q-transform makes it possible to reinterpret the dynamic of a quantum observable as a (typically nonlocal) dynamic of a classical observable. From this point of view we carry out an analysis of an open quantum system whose dynamics are governed by an asymptotically harmonic Hamiltonian and compact type Lindblad operators. It is established that the initial value problem of the equivalent nonlocal but classical evolution is well posed in the appropriately chosen Sobolev spaces. The second set of results pertains to a generalization of the basic Q-transform and highlights a certain type of asymptotic redundancy. This phenomenon, referred to as the broadband redundancy, is a consequence of a well-known property of the zeros of the Riemann zeta function, namely, the uniform distribution modulo one of their ordinates. Its relevance to the analysis of quantum dynamics is only a special instance of its utility in harmonic analysis in general. It remains to be seen if the phenomenon is significant also in the physical sense, but it appears well-justified---in particular, by the results presented here---to pose such a question.

研究の動機と目的

• Q変換を介した量子観測可能量と二重周期的一般関数の間の厳密な数学的対応を確立すること。
• 漸近的に調和的ハミルトニアンとコンパクト型の Lindblad 運動方程式によって記述される開放量子系ダイナミクスの適切性を分析すること。
• Sobolev型ノルムが量子進化中に正則性を保つ役割を調査すること。
• 非正規直交基底を用いたQ変換の一般化を行い、新たな現象「バンド幅冗長性」を同定すること。
• バンド幅冗長性の物理的関連性を量子ダイナミクスにおいて評価し、量子情報処理への潜在的影響を検討すること。

提案手法

• Hilbert空間作用素と二重周期的一般関数の間の可逆な線形写像としてQ変換を定義する。
• Q変換を用いて、本質的に調和的ハミルトニアンを伴うハイゼンベルク方程式を定数速度の移流を伴う一階偏微分方程式に変換する。
• 2次元トーラス上のSobolev空間を用い、正則性解析にあたりフーリエ級数との関連を活用する。
• コンパクト作用素上のQ変換誘導ノルムの部分乗法的性質を確立し、Hilbert-Schmidtノルムの性質を精緻化する。
• $L_2[0,1]$における非正規直交基底を用いたQ変換の一般化を行い、バンド幅冗長性を研究する。
• 非自明なリーマン・ゼータ関数の零点の虚部が1を法として均等分布することを応用し、収束見積もりを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に調和的ハミルトニアンを伴う開放系における量子観測可能量のダイナミクスは、古典的非局所的進化に再定式化可能か？
• RQ2 Q変換を介して得られる古典的進化に対する初期値問題は、Sobolev空間において適切か？
• RQ3 一般化Q変換で観測されたバンド幅冗長性現象の性質と起源は何か？
• RQ4 リーマン・ゼータ関数の零点の分布は、一般化Q変換の収束性にどのように関係するか？
• RQ5 Q変換フレームワークは、古典的空間データを量子系に安定して符号化・処理可能か？

主な発見

• Q変換を介して導出された古典的非局所的進化に対する初期値問題は、適切なSobolev空間において適切であることが、定理1で確立された。
• Q変換は、量子観測可能量のSobolev正則性を進化中に保存する。これは、量子情報の圧縮可能性を示唆する。
• 一般化Q変換の収束速度は、$f$ の $2\alpha$-ノルムに依存し、$\sigma > \alpha + 1$ の下では $O(1/\log T)$ のレートで収束する。
• バンド幅冗長性現象は、非自明なリーマン・ゼータ関数の零点の虚部が1を法として均等分布することに起因する。これは定理2および定理3で形式化された。
• 一般化Q変換の収束は、$\left(\frac{C}{\log T}\zeta''(2(\sigma - \alpha) - 1)\right)^2\|f\|_{2\alpha}^2 \sum_{k \neq 0} |k|^{-2\alpha} \sum_{l \neq 0} |l|^{-2\alpha}$ で有界であり、$\alpha > 1/2$ のとき有限である。
• Q変換は、対称性の取り扱いおよびフーリエ変換の次元において、ウィグナー変換とは異なり、ただし平面への拡張は可能である。