[論文レビュー] Endomorphisms of B(H)

Ola Bratteli, Palle E. T. Jørgensen+1 more|ArXiv.org|Aug 29, 1994

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、Cuntz代数 $\mathcal{O}_n$ の表現を用いて、可分ヒルベルト空間上の有界作用素の単位的自己準同型を分類し、$n \geq 2$ のインデックスを持つシフトの同型類と、UHF代数 $M_{n^\infty}$ 上の純粋状態の同値類との間の対応を確立することで、$\mathcal{B}(\mathcal{H})$ の単位的自己準同型を分類する。主な貢献は、$P/\sim$ を用いた同型類の完全なラベル付けであり、ここで $P$ は $M_{n^\infty}$ 上の純粋状態の集合、$\sim$ は滑らかでない同値関係である。これにより、不変ベクトル状態を持たない非同型なシフトが非可算個存在することが証明される。

ABSTRACT

The unital endomorphisms of B(H) of (Powers) index n are classified by certain U(n)-orbits in the set of non-degenerate representations of the Cuntz algebra O_n on H. Using this, the corre- sponding conjugacy classes are identified, and a set of labels is given. This set is given as P modulo a certain non-smooth equivalence, where P is a set of pure state on the UHF algebra of Glimm type n^infinity. Several subsets of P, giving concrete examples of non- conjugate shifts, are worked out in detail, including sets of product states, and a set of nearest neighbor states.

研究の動機と目的

• インデックス $n \geq 2$ の $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ の単位的自己準同型の同型類を分類すること、特にシフトを対象とすること。
• インデックス $n \geq 2$ のシフトが不変ベクトル状態を持たない可能性があるかどうかという未解決問題を解消すること。
• UHF代数 $M_{n^\infty}$ 上の純粋状態と滑らかでない同値関係を用いて、同型類の完全なラベル付けを提供すること。
• Cuntz代数 $\mathcal{O}_n$ の表現を用いた自己準同型の分類を拡張し、フォン・ノイマンとパワーズの基礎的アイデアを応用すること。

提案手法

• インデックス $n$ の $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ の単位的自己準同型と、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上の $\mathcal{O}_n$ の非退化表現との間の対応を、$U(n)$-軌道を用いて確立する。
• シフトの同型類に自然なボレル構造を定義し、それが非可算分離的でないことを示す。
• ラベル付け空間を $P/\sim$ と定義する。ここで $P$ は $M_{n^\infty}$ 上の純粋状態の集合であり、$\sim$ は滑らかでない同値関係である。
• $M_{n^\infty} = \bigotimes_{k=-\infty}^{\infty} M_n$ の無限テンソル積構造を用いて、ヒルベルト空間テンソル積上の二重側右シフトとしてシフトのダイナミクスをモデル化する。
• フォン・ノイマンの1938年の研究とギシュアルデの拡張を活用し、不変ベクトル状態を持たないシフトの明示的例を構成する。
• 自己準同型と自己同型の理論を用いて、シフト $\alpha$ をより大きな空間 $H' \otimes \mathcal{H}$ 上の $*$-自己同型 $\beta$ に拡張し、漸近的性質を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックス $n \geq 2$ の $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ の単位的自己準同型は、代数的不変量を用いて同型類まで分類可能か？
• RQ2 インデックス $n \geq 2$ の $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 上に、不変ベクトル状態を持たないシフトが存在するか？
• RQ3 このようなシフトの同型類の構造は何か？ また、それらは純粋状態上の適切な同値関係によってパrametrize可能か？
• RQ4 シフトの漸近的およびエルゴード的性質は、UHF代数 $M_{n^\infty}$ 及びその状態空間の構造とどのように関係するか？
• RQ5 同型類の分類に、非可算分離的でないボレル構造を備えることは可能か？

主な発見

• シフト $\operatorname{Shift}_n(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$ の同型類は、$P/\sim$ と一対一対応する。ここで $P$ は $M_{n^\infty}$ 上の純粋状態の集合、$\sim$ は滑らかでない同値関係である。
• $\operatorname{End}_n(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$、$\operatorname{Erg}_n(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$、$\operatorname{Shift}_n(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$ の自己準同型の同型類は、自然なボレル構造を備えており、それは非可算分離的でない。
• $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 上に、$n \geq 2$ のインデックスを持つ非可算個の非同型なシフトが存在する。これは、積状態と近隣状態の集合における明示的例の構成によって示された。
• 不変ベクトル状態を持たないシフトの明示的構成が提供され、パワーズが[Pow2]で残した未解決問題が解決された。
• シフトのダイナミクスは、$H' \otimes \mathcal{H}$ 上の $*$-自己同型 $\beta$ に拡張可能であり、ここで $\beta$ は $M_n$-因子上で二重側右シフトとして作用し、$\alpha$ の漸近的構造を保存する。
• 分類は Cuntz代数 $\mathcal{O}_n$ の表現論に基づく。主な洞察は、$\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 上の $\alpha$-不変状態が、$M_{n^\infty}$ 上の $\mathcal{O}_n$-不変状態に対応することである。