[論文レビュー] Endomorphisms of B(H), extensions of pure states, and a class of representations of O_n

Neal J. Fowler, Marcelo Laca|ArXiv.org|Sep 26, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、固定点代数 $F_n$ の純状態 $\rho$ と $C(T)$ の表現 $\theta$ を用いて、Cuntz代数 $O_n$ の表現のクラスを構成し、$\rho$ を拡張する $O_n$ のすべての状態の完全なパrameter化を可能にする。主な結果は、$F_n$ の純状態の同値関係を用いて、$B(H)$ のエルゴディック自己同型の共役類による分類であり、Powersのシフトに関する先行研究を一般化する幾何的共役不変量を含む。

ABSTRACT

Let F_n be the fixed-point algebra of the gauge action of the circle on the Cuntz algebra O_n. For every pure state ρof F_n and every representation θof C(T) we construct a representation of O_n, and we use the resulting class of representations to parameterize the space of all states of O_n which extend ρ. We show that the gauge group acts transitively on the pure extensions of ρand that the action is p-to-1 with p the period of ρunder the usual shift. We then use the above representations of O_n to construct endomorphisms of B(H) which we classify up to conjugacy in terms of the parameters ρand θ. In particular our construction yields every ergodic endomorphism αwhose tail algebra $\bigcap_kα^k(B(H))$ has a minimal projection, and our results classify these ergodic endomorphisms by an equivalence relation on the pure states of F_n. As examples we analyze the ergodic endomorphisms arising from periodic pure product states of F_n, for which we are able to give a geometric complete conjugacy invariant, generalizing results of Stacey, Laca, and Bratteli-Jorgensen-Price on the shifts of Powers.

研究の動機と目的

• 与えられた固定点代数 $F_n$ の純状態 $\rho$ を拡張する Cuntz代数 $O_n$ のすべての状態をパrameter化すること。
• 構築された $O_n$ の表現を用いて、$B(H)$ のエルゴディック自己同型を共役類ごとに分類すること。
• 周期的純積状態から生じるエルゴディック自己同型の幾何的共役不変量を提供することで、Powersのシフトに関する結果を一般化すること。
• $\rho$ の純拡張上におけるゲージ群の作用を分析し、その作用が推移的であり、$\rho$ の周期 $p$ に一致する $p$ 対 $1$ の写像であることを示すこと。

提案手法

• $F_n$ 上の純状態 $\rho$ と、円周群の $C(T)$ の表現 $\theta$ を組み合わせて $O_n$ の表現を構成する。
• 得られた表現を用いて、$\rho$ を拡張する $O_n$ のすべての状態をパrameter化し、双対性の対応関係を確立する。
• ゲージ群の $\rho$ の純拡張上への作用を分析し、推移的であることを証明し、作用の次数が $\rho$ の周期 $p$ に一致することを計算する。
• $O_n$-表現から $B(H)$ の自己同型を構成し、尾代数に最小射影を含む場合にそれがエルゴディックであることを示す。
• ゲージ作用によって誘導される $F_n$ の純状態上の同値関係を用いて、これらの自己同型を共役類ごとに分類する。
• 周期的純積状態の $F_n$ に対して、Stacey や Laca、Bratteli-Jorgensen-Price の先行研究を一般化する幾何的共役不変量を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$O_n$ のすべての状態を、$F_n$ の与えられた純状態 $\rho$ を拡張する $O_n$-表現を用いてパrameter化できるか？
• RQ2 ゲージ群の $\rho$ の純拡張上への作用の構造は何か？ また、$\rho$ の周期とはどのように関係するか？
• RQ3 構築された $O_n$-表現から生じる $B(H)$ の自己同型はどのようなものか？ そして、それらはどのように共役類ごとに分類できるか？
• RQ4 周期的純積状態から生じるエルゴディック自己同型の共役不変量は何か？
• RQ5 これらの結果は、$O_n$-表現と $B(H)$ の自己同型の文脈において、Powersのシフトの分類をどのように一般化するか？

主な発見

• ゲージ群は、$F_n$ の任意の純状態 $\rho$ の純拡張上に推移的に作用し、その作用は $\rho$ のシフト自己同型における周期 $p$ に一致する $p$ 対 $1$ の写像である。
• 尾代数 $\bigcap_k \alpha^k(B(H))$ に最小射影を含む任意のエルゴディック自己同型 $\alpha$ は、$F_n$ の純状態 $\rho$ と $C(T)$ の表現 $\theta$ を用いた構成から得られる。
• $O_n$ の $\rho$ を拡張するすべての状態の空間は、$\rho$ と $\theta$ から構築された $O_n$-表現によって完全にパrameter化され、双対性の対応関係が確立される。
• $B(H)$ のエルゴディック自己同型の共役類による分類は、ゲージ作用によって誘導される $F_n$ の純状態上の同値関係に等しい。
• 周期的純積状態の $F_n$ に対して、本論文は先行研究の結果を一般化する幾何的共役不変量を提供する。
• この構成は、尾代数に最小射影を含むようなすべてのエルゴディック自己同型を得る。したがって、この場合の完全な分類が確立される。