[論文レビュー] Endomorphisms of hypersurfaces and other manifolds

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Aug 28, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Amerik, Rovinsky, Van de Venのテクニックを用いた、ねじれ接ベクトル束のチャーン類に基づくコhomologicalな議論により、次元 $ n \geq 2 $ かつ次数 $ d \geq 3 $ の滑らかな超曲面は、1より大きい次数の自己準同型を持たないことを証明している。主要な結果は、超曲面の自己準同型問題を解決し、ファノ多様体へと拡張され、分岐自己準同型は、Kodaira次元 $ -\infty $ の多様体にのみ存在しうることを示しており、デル・ペッツォ表面についても完全な分類が得られている。

ABSTRACT

We prove that a smooth hypersurface of degree >2 and dimension >1 admits no endomorphism of degree >1 (for hyperquadrics this is due to Paranjape and Srinivas). We then collect some general results on endomorphisms of projective manifolds; we prove in particular that ramified endomorphisms occur only on varieties of negative Kodaira dimension, and we classify those Del Pezzo surfaces which admit such endomorphism.

研究の動機と目的

• 次元 $ n \geq 2 $ かつ次数 $ d \geq 3 $ の滑らかな超曲面が、1より大きい次数の自己準同型を持つかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• 自己準同型の解析を一般の射影多様体へと拡張し、特にKodaira次元と分岐の役割に焦点を当てる。
• 特に正のKodaira次元および分岐写像の状況において、デル・ペッツォ表面およびファノ3次元多様体における自己準同型を分類すること。
• 分岐自己準同型は、Kodaira次元 $ -\infty $ の多様体にのみ存在しうることを確立し、ファノ多様体へのその影響を検討すること。

提案手法

• 自己準同型 $ f $ による引き戻しの下で、$ \Omega^1_X(2) $ の切断の孤立した零点の個数を数えることで得られるコhomologicalな不等式を用い、$ c_n(\Omega^1_X(2)) $ の上界を導出する。
• Amerik, Rovinsky, Van de Venの結果を適用し、$ c_n(\Omega^1_X(2)) \leq 2^n \deg(X) $ が成り立ち、等号は特別な場合に限ることを示す。
• $ \mathbb{P}^{n+1} $ および $ X $ 上の完全列を用いて、有理微分形式の留数を介してチャーン類 $ c_n(\Omega^1_X(2)) $ を計算する。
• 留数定理を用いてチャーン類を留数の和として評価し、$ d $ および $ n $ の関数として明示的な式を得る。
• Hurwitzの公式および除数類の関係を用いて、特にデル・ペッツォ表面の場合の分岐自己準同型を分析する。
• コhomology上での $ f^* $ と $ d^{-1}f_* $ の双対性を用い、1より大きい次数の自己準同型は、多重 canonical 系を保存し、それらの像上に自己同型を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n \geq 2 $ かつ次数 $ d \geq 3 $ の滑らかな超曲面は、1より大きい次数の自己準同型を持つだろうか？
• RQ2 1より大きい次数の自己準同型の存在性と、射影多様体のKodaira次元との関係は何か？
• RQ3 特に $ b_2 = 1 $ の場合に、どのファノ多様体が1より大きい次数の自己準同型を持つだろうか？
• RQ4 Kodaira次元 $ \geq 0 $ の多様体に分岐自己準同型が存在しうるだろうか？もし存在しないのなら、その理由は何か？
• RQ5 デル・ペッツォ表面が1より大きい次数の自己準同型を持つための正確な条件は何か？

主な発見

• 次元 $ n \geq 2 $ かつ次数 $ d \geq 3 $ の滑らかな超曲面は、1より大きい次数の自己準同型を持たない。
• このような超曲面について、チャーン類 $ c_n(\Omega^1_X(2)) $ は $ c_n(\Omega^1_X(2)) > 2^n \deg(X) $ を満たすが、これは自己準同型の引き戻しによって得られる上界と矛盾する。
• デル・ペッツォ表面では、自己準同型が1より大きい次数で存在するための必要十分条件は $ K_S^2 \geq 6 $ であり、これは $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ あるいは3点以下の点を blown up した $ \mathbb{P}^2 $ に一致する。
• 分岐自己準同型は、Kodaira次元 $ -\infty $ の多様体にのみ存在しうることを示しており、そうでない場合には多重 canonical 系がこのような写像を支持できないことから導かれる。
• Kodaira次元 $ \kappa(S) \geq 0 $ の表面では、1より大きい次数の自己準同型はすべてエタールでなければならない。このような表面は、アーベル曲面または $ E $（楕円曲線）と genus $ \geq 1 $ の曲線 $ C $ の商 $ (E \times C)/G $ である。
• 特に $ b_2 = 1 $ のファノ3次元多様体では、1より大きい次数の自己準同型を持つのは $ \mathbb{P}^3 $ のみであり、[A]および[ARV]の先行結果により示されている。