[論文レビュー] Endomorphisms of O_n which preserve the canonical UHF-subalgebra

Roberto Conti, Mikael Rørdam+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Cuntz代数 𝒪ₙ の単位的自己準同型を構成し、それらが標準的UHF部分代数 𝒻ₙ を保存することを示している。これは、それらの自己準同型が 𝒻ₙ に属さないユニタリから生じ得ることを示しており、以前に仮定されていた逆命題を反証している。主な貢献は、𝒪₂ において 𝒻₂ に属さないユニタリが 𝒻₂ を保存する自己準同型を生成することを示した反例である。さらに、その像の相対可換環に 𝒪₂ のコピーが含まれており、これにより 𝒪₂⊗𝒪₂ が 𝒪₂ にUHF構造を保存した形で埋め込まれることが可能になる。

ABSTRACT

Unital endomorphisms of the Cuntz algebra O_n which preserve the canonical UHF-subalgebra F_n of O_n are investigated. We give examples of such endomorphisms for which the associated unitary element in O_n does not belong to F_n. One such example, in the case where n=2, arises from a construction of a unital endomorphism on O_2 which preserves the canonical UHF-subalgebra and where the relative commutant of the image in O_2 contains a copy of O_2.

研究の動機と目的

• Cuntz代数 𝒪ₙ の単位的自己準同型で、標準的UHF部分代数 𝒻ₙ を保存するものを探ること。
• このような自己準同型がすべて 𝒻ₙ 内のユニタリから生じるかどうかを検証し、以前に仮定されていた逆命題に疑問を呈すること。
• 𝒻ₙ を保存するが、それらを生成するユニタリが 𝒻ₙ に属さない自己準同型の明示的例を構成すること。
• 特に 𝒪₂ におけるこのような自己準同型の像の相対可換環の構造を調査すること。
• UHF部分代数を保存する自己準同型を体系的に生成・分析するためのフレームワークを確立すること。

提案手法

• ユニタリ u ∈ 𝒪ₙ と、生成子 Sⱼ に対して λᵤ(Sⱼ) = uSⱼ で定義される単位的自己準同型 λᵤ の間には一対一対応があることを利用する。
• 𝒪₂ に属するが 𝒻₂ に属さない特定のユニタリ u を構成し、λᵤ が 𝒻₂ を保存することを示す。これには、多重インデックスと語構造の組合せ的性質を用いる。
• ゲージ作用を介した自己準同型に関連するコサイクル構造、特にユニタリコサイクル zₜ⁽¹⁾ 及びその高次版 zₜ⁽ᵏ⁾ を分析する。
• λᵤ(𝒻ₙ) ⊆ 𝒻ₙ であるための必要十分条件として、コサイクル zₜ⁽¹⁾ がユニタリであること、およびコサイクルから生成される代数 Aᵤ が有限次元であることを利用する。
• 𝒪ₙ 内の語の有限和のなす群 ℒₙ の Higman-Thompson 群構造を用いて、候補となるユニタリを生成する。
• λᵤ(𝒪₂) の相対可換環に 𝒪₂ のコピーが含まれるならば、𝒻₂ に属さないユニタリ v が存在し、λᵥ が 𝒻₂ 上で λᵤ と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝒪ₙ の単位的自己準同型で 𝒻ₙ を保存するものすべてが、𝒻ₙ に属するユニタリから生じる必要があるのか？
• RQ2 𝒪ₙ ∖ 𝒻ₙ に属するユニタリ u が、 still 𝒻ₙ を保存する自己準同型 λᵤ を生成できるか？
• RQ3 ユニタリ u にどのような構造的条件を課すと、λᵤ(𝒻ₙ) ⊆ 𝒻ₙ が成り立つか？
• RQ4 𝒪ₙ 内での λᵤ(𝒪ₙ) の相対可換環が、十分に大きく 𝒪ₙ のコピーを含むのはどのような条件下か？
• RQ5 λᵤ(𝒻ₙ) ⊆ 𝒻ₙ が成り立つのは、コサイクル zₜ⁽ᵏ⁾ 全体から生成される代数 Aᵤ が有限次元であるとき、かつそのときに限るのか？

主な発見

• 𝒻₂ に属さないユニタリ u を用いても、𝒪₂ の単位的自己準同型 λᵤ が 𝒻₂ を保存する例が存在し、これは以前に仮定されていた逆命題の反例を提供する。
• このような自己準同型 λᵤ の像の相対可換環に 𝒪₂ のコピーが含まれており、内部構造が非常に豊かであることが示唆される。
• 多重インデックスの長さ1および2の組合せ的データを用いて、𝒪₂ ∖ 𝒻₂ に属する明示的なユニタリ u が構成され、λᵤ(𝒻₂) ⊆ 𝒻₂ が成り立つことが示された。
• このような自己準同型の存在は、𝒻₂ に属さないユニタリ v を用いて 𝒻₂ 上で λᵤ と一致する単位的自己準同型 λᵥ が存在することを示唆する。
• 𝒪₂⊗𝒪₂ を 𝒪₂ に埋め込む写像が構成され、𝒻₂⊗𝒻₂ が 𝒻₂ に写されることが示された。これにより、𝒪₂ 内に非自明なテンソル積構造が存在することが明らかになった。
• λᵤ(𝒻ₙ) ⊆ 𝒻ₙ であることは、ユニタリコサイクル zₜ⁽¹⁾ がユニタリであり、かつすべてのコサイクル zₜ⁽ᵏ⁾ から生成される代数 Aᵤ が有限次元であることと同値である。