[論文レビュー] Energy and implicit discretization of the Fokker-Planck and Keller-Segel type equations

Luís Almeida, Federica Bubba+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

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ひとこと要約

本稿では、Fokker-Planck方程式およびKeller-Segel方程式に対して、エネルギー散逸、質量保存、正値性、定常状態構造を離散的にも保持する2つの新しい暗黙的有限体積スキームを提案する。勾配流れとScharfetter-Gummel離散化戦略を用い、上風化を組み合わせることで、時間刻みの制限なしに適切に定義され、安定性を保証する。これにより、パターン形成の正確なシミュレーションが可能となり、物理的不安定性と数値的アーティファクトの区別が可能となる。

ABSTRACT

The parabolic-elliptic Keller-Segel equation with sensitivity saturation, because of its pattern formation ability, is a challenge for numerical simulations. We provide two finite-volume schemes whose goals are to preserve, at the discrete level, the fundamental properties of the solutions, namely energy dissipation, steady states, positivity and conservation of total mass. These requirements happen to be critical when it comes to distinguishing between discrete steady states, Turing unstable transient states, numerical artifacts or approximate steady states as obtained by a simple upwind approach. These schemes are obtained either by following closely the gradient flow structure or by a proper exponential rewriting inspired by the Scharfetter-Gummel discretization. An interesting feature is that upwind is also necessary for all the expected properties to be preserved at the semi-discrete level. These schemes are extended to the fully discrete level and this leads us to tune precisely the terms according to explicit or implicit discretizations. Using some appropriate monotony properties (reminiscent of the maximum principle), we prove well-posedness for the scheme as well as all the other requirements. Numerical implementations and simulations illustrate the respective advantages of the three methods we compare.

研究の動機と目的

• Fokker-PlanckおよびKeller-Segel方程式に対して、エネルギー散逸、質量保存、正値性、定常状態といった基本的な物理的性質を離散的にも保持する数値スキームの開発を目的とする。
• 強い非線形性と対流項のための数値的課題、特に物理的チューリング不安定性と数値的アーティファクトの区別を困難にする問題に対処することを目的とする。
• CFL制限を回避しつつ、すべての主要な離散的性質を維持する暗黙的時間離散化を構築することを目的とする。
• 勾配流れに基づくスキームとScharfetter-Gummelに基づくスキームの性能を比較し、複雑なパターンを正確に捉える能力を評価することを目的とする。
• 部分解・上界解の議論を用いて、スキームの適切な定義と単調性に基づく収束性を証明することを目的とする。

提案手法

• 2つの異なる対称化戦略、すなわち勾配流れ構造とドリフト拡散方程式に対するScharfetter-Gummel法に基づいて、スキームを導出する。
• 両スキームに上風化を組み込み、半離散レベルにおいて正値性、質量保存、エネルギー散逸の保持を確実にする。
• 完全離散スキームは暗黙の時間積分法を用いて構築され、時間刻みの制限なしに無条件安定性を達成する。
• 最大原理に類似した単調性性質を用い、部分解・上界解理論により解の存在と一意性を証明する。
• 離散的エネルギー散逸は、連続的エネルギー不等式を模倣するリャプノフ関数の構築により厳密に証明される。
• 数値的妥当性が確認され、標準的な上風スキームと比較して、定常状態や一時的パターンの解像度において優れた精度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 暗黙的有限体積スキームは、Fokker-PlanckおよびKeller-Segel方程式において、エネルギー散逸、質量保存、正値性、定常状態構造を両半離散および完全離散レベルで保持できるか？
• RQ2 勾配流れに基づく離散化とScharfetter-Gummelに基づく離散化は、強い非線形性を持つ解の定性的な振る舞いをどの程度正確に保持できるか？
• RQ3 上風化のみで、半離散レベルにおいて主要な物理的性質をどの程度正確に保持できるか？
• RQ4 暗黙の時間離散化は、CFL条件を排除しつつ、すべての離散的保存則および安定性性質を維持できるか？
• RQ5 これらの系において、誤った振動や誤った定常状態といった数値的アーティファクトを、物理的パターン形成とどのように区別できるか？

主な発見

• 提案されたスキームは、半離散および完全離散レベルの両方でエネルギー散逸を保持し、エネルギー関数が時間とともに単調に減少する。
• 両スキームとも、滑らかでない、または鋭い初期データに対しても、解の厳密な正値性を維持し、全質量を保存する。
• スキームは無条件安定かつ適切に定義されており、部分解・上界解理論を用いて解の存在と一意性が証明されている。
• Scharfetter-Gummelに基づくスキームは、勾配流れアプローチの代替として強力であり、一般の感度関数φ(u)に対して特に有効である。
• 数値的シミュレーションにより、スキームがチューリング型不安定性およびピーク型定常状態を正確に捉え、標準的な上風スキームで見られる誤った振動を回避することが示された。
• 暗黙の時間離散化により、安定性や精度を損なわずに大きな時間刻みが使用可能であり、パターン形成の長時間シミュレーションに適している。