[論文レビュー] Energy conservation in the 3D Euler equations on $\mathbb{T}^2 imes \mathbb{R}_+$

James C. Robinson, José L. Rodrigo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限測度の平坦な境界をもつ領域 $\mathbb{T}^2 \times \u005cmathbb{R}_+$ における3次元非圧縮性Euler方程式の弱解に対してエネルギー保存則を確立する。解を全空間 $\mathbb{T}^2 \times \u005cmathbb{R}$ に奇関数的反사를用いて拡張し、速度増分に関する条件—$\ lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\u005c mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$—に加え、境界における連続性および不透過条件を適用することで、運動エネルギーの保存が証明され、境界をもつ領域へのOnsager型結果の拡張がなされた。

ABSTRACT

The aim of this paper is to prove energy conservation for the incompressible Euler equations in a domain with boundary. We work in the domain $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}_+$, where the boundary is both flat and has finite measure. However, first we study the equations on domains without boundary (the whole space $\mathbb{R}^3$, the torus $\mathbb{T}^3$, and the hybrid space $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}$). We make use of some of the arguments of Duchon \& Robert ({\it Nonlinearity} {\bf 13} (2000) 249--255) to prove energy conservation under the assumption that $u\in L^3(0,T;L^3(\mathbb{R}^3))$ and one of the two integral conditions \begin{equation*} \lim_{|y| o 0}\frac{1}{|y|}\int^T_0\int_{\mathbb{R}^3} |u(x+y)-u(x)|^3\,d x\,d t=0 \end{equation*} or \begin{equation*} \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{|u(x)-u(y)|^3}{|x-y|^{4+δ}}\,d x\,d y0, \end{equation*} the second of which is equivalent to requiring $u\in L^3(0,T;W^{α,3}(\mathbb{R}^3))$ for some $α>1/3$. We then use the first of these two conditions to prove energy conservation for a weak solution $u$ on $D_+:=\mathbb{T}^2 imes \mathbb{R}_+$: we extend $u$ a solution defined on the whole of $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}$ and then use the condition on this domain to prove energy conservation for a weak solution $u\in L^3(0,T;L^3(D_+))$ that satisfies \begin{equation*} \lim_{|y| o 0} \frac{1}{|y|}\int^{T}_{0}\iint_{\mathbb{T}^2}\int^\infty_{|y|}|u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \,d x_3 \,d x_1 \,d x_2 \,d t=0, \end{equation*} and certain continuity conditions near the boundary $\partial D_+=\{x_3=0\}$.

研究の動機と目的

• 圧縮性でないEuler方程式の弱解について、境界をもつ領域 $\u005c mathbb{T}^2 \times \u005c mathbb{R}_+$ におけるエネルギー保存則を確立すること。
• $\ mathbb{R}^3$ や $\u005c mathbb{T}^3$ のような非有界領域で知られているエネルギー保存基準を、有限測度の平坦境界をもつ領域へ拡張すること。
• $\ mathbb{R}^3$ で知られているエネルギー保存の最も弱い条件—$L^3$ ノルムを含む速度増分条件—が、境界連続性と組み合わせて成立するかどうかを証明すること。
• $d \geq 2$ に対して、$\ mathbb{T}^{d-1} \times \u005c mathbb{R}_+$ のような高次元余次元領域に対してもエネルギー保存が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 境界 $x_3 = 0$ における奇関数的反사를用いて、$\ mathbb{T}^2 \times \u005c mathbb{R}_+$ 上で定義された弱解を全空間 $\ mathbb{T}^2 \times \u005c mathbb{R}$ に拡張する。
• 拡張された解に速度増分条件 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\u005c mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ を適用する。
• この条件が、Duchon & Robert (2000) や Shvydkoy (2009) によって示されたように、$\ mathbb{T}^2 \times \u005c mathbb{R}$ 上でエネルギー保存を意味することを用いる。
• $|x_3| \leq |y|$ の境界領域の寄与を、$x_3 = 0$ 近傍での $u$ の有界性および連続性（特に $u \cdot n = 0$ の不透過条件）を活用して解析する。
• 境界層における極限と積分の順序交換を正当化するため、Dominated Convergence Theorem を適用し、$|y| \to 0$ のとき寄与が消えることを示す。
• $u \in L^3(0,T;L^\infty(\u005c mathbb{T}^2 \times [0,\delta)))$ および $u(\cdot,t) \in C_{\partial D_+}$ 几乎 everywhere $t$ の仮定のもとで、エネルギーバランスが成立することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Euler方程式におけるエネルギー保存の最も弱い既知の条件—速度増分に基づくもの—が、平坦な境界をもつ領域でも有効に保たれるか。
• RQ2 $\ mathbb{T}^2 \times \u005c mathbb{R}_+$ 上の弱解に対して、$\ mathbb{R}^3$ と類似した条件のもとでエネルギー保存が確立できるか。
• RQ3 解が境界で滑らかでない場合、エネルギー保存の証明における境界効果をどのように制御できるか。
• RQ4 条件 $\ lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\u005c mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ が、$\ mathbb{T}^2 \times \u005c mathbb{R}_+$ 上でエネルギー保存を保証するのに十分か。
• RQ5 反射を用いた解の拡張法が、非有界領域から有界領域へのエネルギー保存結果の移行に利用可能か。

主な発見

• 弱解 $u \in L^3(0,T;L^3(D_+))$ に対して、$D_+ = \u005c mathbb{T}^2 \times \u005c mathbb{R}_+$ で、条件 $\ lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\u005c mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ の下でエネルギーが保存される。
• $u$ の境界における連続性および不透過条件 $u \cdot n = 0$ により、境界寄与が $|y| \to 0$ のとき消える。これは、拡張解 $u_E$ が $x_3 = 0$ で連続であることを保証する。
• 能量増分を3つの領域に分割する：$x_3 > |y|$、$x_3 < -|y|$、$|x_3| \leq |y|$。境界領域が特に重要となる。
• $u$ の $L^3(0,T;L^\infty(\u005c mathbb{T}^2 \times [0,\delta)))$ における有界性により、時間積分内での極限の内挿がDominated Convergence Theoremにより正当化できる。
• 結果は $d \geq 2$ に対して $\ mathbb{T}^{d-1} \times \u005c mathbb{R}_+$ の領域へも拡張可能であり、この方法は次元に依存しない。
• 条件 $\ lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\u005c mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ は、境界が存在しない場合のエネルギー保存の最も弱い既知の基準と同値である。