[論文レビュー] Energy conservation via a combination of velocity and its gradient in the Navier-Stokes system

Yan Qing Wang, Yulin Ye|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Lebesgue空間における速度とその空間勾配を組み合わせることで、非圧縮性および圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の統一されたエネルギー保存基準を確立する。速度とその勾配が特定の可積分性条件を満たす場合、エネルギー等式が成り立つことを証明し、非圧縮性および圧縮性流れの両方の既存結果を拡張・統合する。

ABSTRACT

In the spirit of recent work \cite{[NNT]},it is shown that $v\in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^{3})) $ and $ abla v\in L^{p}(0,T; L^{q}(\mathbb{T}^{3})) $ imply the energy equality in homogeneous incompressible Navier-Stokes equations and together with bounded density with positive lower bound yields the energy conservation in the general compressible Navier-Stokes equations. This unifies the known energy conservation criteria via the velocity and its gradient in incompressible Navier-Stokes equations. This also helps us to extend the conditions via the velocity or gradient of the velocity for energy equality from the incompressible fluid to compressible flow and improves the recent results due to Nguyen-Nguyen-Tang \cite[Nonlinearity 32 (2019)]{[NNT]} and Liang \cite[Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (2020)]{[Liang]}.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のエネルギー保存基準を、速度とその勾配に基づいて統一すること。
• 密度が有界かつ正の下限を持つ条件下で、これらの基準を圧縮性ナビエ＝ストークス方程式へ拡張すること。
• Nguyen-Nguyen-Tang (2019) や Liang (2020) の最近のエネルギー等式条件に関する結果を改善すること。
• Lebesgue空間における速度とその勾配の共同正則性を用いたエネルギー保存の一般枠組みを確立すること。

提案手法

• Lebesgue空間における可積分性条件を用いる：$ v \in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^3)) $ および $ \nabla v \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{T}^3)) $。
• これらの可積分性仮定からエネルギー等式を導出するための関数解析的技法を適用する。
• 有界な密度に正の下限を持つことを組み込むことで、非圧縮性フレームワークを圧縮性流れへ拡張する。
• 補間および埋め込み定理を用いて、速度と勾配の正則性をエネルギー保存に結びつける。
• 数学的閉じる性質を保証するため、周期的領域 $ \mathbb{T}^3 $ におけるナビエ＝ストークス方程式の構造に依存する。
• 先行研究の結果（例：[NNT], [Liang]）を統合し、一貫性のある基準を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度とその勾配の正則性を組み合わせた単一の条件が、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における既存のエネルギー保存基準を統一できるか？
• RQ2 エネルギー保存基準を非圧縮性から圧縮性ナビエ＝ストークス流れへどのように拡張できるか？
• RQ3 有界な密度を伴う圧縮性ケースにおいて、エネルギー等式を保証する速度とその勾配の可積分性条件は何か？
• RQ4 速度とその勾配の共同正則性が、従来の個別の基準よりもどのように改善されるか？
• RQ5 正の下限を持つ有界な密度の組み込みが、圧縮性流れにおけるエネルギー保存にどのように影響するか？

主な発見

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式において、$ v \in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^3)) $ および $ \nabla v \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{T}^3)) $ が適切な $ p, q $ に対して成り立つ場合、エネルギー等式が成立する。
• 同じ条件に加え、正の下限を持つ有界な密度が存在する場合、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式でもエネルギー保存が保証される。
• 提案された基準は、Nguyen-Nguyen-Tang や Liang のエネルギー等式に関する以前の結果を統一・一般化する。
• この枠組みにより、エネルギー保存基準の適用範囲が非圧縮性流れから圧縮性流れへ拡張される。
• 結果として、圧縮性が存在する中でも、速度とその勾配の共同正則性がエネルギー保存に十分であることが示された。