[論文レビュー] Energy conserving Anisotropic Anhysteretic Magnetic Modelling for Finite Element Analysis

Jens Krause|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Magnetic Properties and Applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、磁束密度の関数としての磁気エネルギー密度を凸関数として定義することにより、有限要素解析におけるエネルギー保存を満たす、異方性でヒステリシスのない磁気モデルを提案する。このエネルギー密度関数の勾配から磁界強度が導かれる。本手法により、対称的な微分能動率とエネルギー保存が保証され、2次元測定データからの3次元のグレインオリエンテッド鋼の正確な補間と、頑健なラミネートモデル化が可能となる。

ABSTRACT

To model ferromagnetic material in finite element analysis a correct description of the constitutive relationship (BH-law) must be found from measured data. This article proposes to use the energy density function as a centrepiece. Using this function, which turns out to be a convex function of the flux density, guarantees energy conservative modelling. The magnetic field strength can be seen as a derivative with respect to the flux density. Especially for anisotropic materials (from lamination and/or grain orientation) this method has advantages. Strictly speaking this method is only valid for anhysteretic and thermodynamically stable material.

研究の動機と目的

• 有限要素解析における異方性でヒステリシスのないフェロ磁性材料の、熱力学的に整合的かつエネルギー保存型の構成モデルの開発。
• 非対称な微分能動率を示す従来の有効能動率モデルがエネルギー保存を破るという限界を克服すること。
• ローリング方向および横方向の2つの測定BH曲線のみを用いて、グレインオリエンテッド鋼の正確な3次元磁気的性質モデル化を可能とすること。
• 等エネルギー面に基づく補間を用いて、エネルギー密度関数を用いて全3次元異方性挙動へのデータの拡張を実現すること。
• エネルギー保存と数値的安定性を維持したまま、ラミネート効果をモデルに組み込むこと。

提案手法

• 熱力学的安定性を保証するため、磁気エネルギー密度関数 w(B) を中心的な構成量として定義し、凸関数とすること。
• 磁界強度 H をエネルギー密度の勾配として定義する：H = ∂w/∂B により、微分能動率 ν = ∂H/∂B が自動的に対称的になるようにする。
• ローリング方向および横方向の測定BH曲線を境界条件として用い、Bx-By平面における等エネルギー密度の楕円体的等高面を構築する。
• エネルギー密度補間スキームを用いて、中間方向へのデータ拡張を実施し、凸性とエネルギー保存を維持する。
• 積層方向における有効能動率と充填率を組み合わせることで、2次元エネルギーモデルとラミネート効果を統合する。
• 補間則に従い、3次元エネルギー密度の等高面を構築し、μ₀ および B_sat を用いた飽和領域への外挿により妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラミネート処理を施したグレインオリエンテッド鋼の異方性磁気的挙動を、有限要素解析においてエネルギー保存を保証する形でどのようにモデリングできるか。
• RQ2 磁気エネルギー密度関数が、異方性でヒステリシスのない材料において、対称的かつ安定な微分能動率を保証するために果たす役割は何か。
• RQ3 ローリング方向および横方向の2方向でのみ測定されたBHデータを、一貫性のある3次元磁気的構成モデルにどのように組み合わせられるか。
• RQ4 エネルギー密度に基づく補間法は、従来の有効能動率アプローチに比べて、物理的整合性においてどのように優れているか。
• RQ5 ラミネート効果と材料の異方性が3次元磁気応答にどのように作用し合い、エネルギー保存を維持したまま同時にモデル化できるか。

主な発見

• 熱力学的に安定なヒステリシスのない材料に対して、エネルギー密度関数 w(B) は凸であるため、正定値の微分能動率が保証され、FEAにおける数値的安定性が得られる。
• 磁界強度 H はエネルギー密度の勾配 H = ∂w/∂B として定義され、これにより微分能動率テンソルが自動的に対称的になり、エネルギー保存が達成される。
• エネルギー等高面を用いたシート面内でのBH曲線補間により、異方性を持つ楕円が得られ、近接する飽和領域（約3 T）では円形に近づき、等方的挙動を示す。
• 測定データの飽和領域への外挿は、ローリング方向曲線を H = μ₀(B - B_sat) に延長し、横方向曲線に対しても同じ B_sat を用いることで実現され、一貫性が保たれる。
• ラミネート効果と組み合わせた場合、出力方向の微分能動率をローリング方向または横方向の曲線で代用する2つの極端な仮定においても、モデルの差が最小限に抑えられ、入力の不確実性に対して頑健であることが示された。
• ヒステリシスを有する材料には本手法は適用できない。これは、ヒステレシスが存在する場合には、Bのみの関数としてエネルギー密度を一意に定義できないためである。