[論文レビュー] Energy dissipation in flows through curved spaces

J.-D. Debus, M. Mendoza+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Sports Dynamics and Biomechanics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、固体境界や外部力がない状況下でも、空間の内在的曲率のみが、流体内で粘性忤力およびエネルギー散逸を引き起こすことを示している。曲面多様体上での共変ナビエ＝ストークス方程式を用いて、曲率が慣性力を生成し、速度勾配および粘性散逸を増幅することを示しており、曲率源を中心に四極子型の散逸パターンを示す。これは、曲面における流体力学においてこれまでに見過ごされていたメカニズムを明らかにしている。

ABSTRACT

Fluid dynamics in intrinsically curved geometries is encountered in many physical systems in nature, ranging from microscopic bio-membranes all the way up to general relativity at cosmological scales. Despite the diversity of applications, all of these systems share a common feature: the free motion of particles is affected by inertial forces originating from the curvature of the embedding space. Here we reveal a fundamental process underlying fluid dynamics in curved space: the free motion of fluids, in the complete absence of solid walls or obstacles, exhibits loss of energy due exclusively to the intrinsic curvature of space. We find that local sources of curvature generate viscous stresses as a result of the inertial forces. The curvature-induced viscous forces are shown to cause hitherto unnoticed and yet appreciable energy dissipation, which might play a significant role for a variety of physical systems involving fluid dynamics in curved spaces.

研究の動機と目的

• 固体境界や外部力が存在しない状況下で、空間の内在的曲率が粘性応力およびエネルギー散逸をどのように生成するかを調査すること。
• 脂質膜、石鹸膜、曲がった界面などの系における曲率が流体力学的挙動に与える影響を理解すること。
• 共変微分と計量の摂動を用いて、曲面多様体上の流体力学の理論的・数値的枠組みを確立すること。
• 定常な流体流れにおける、曲率誘発エネルギー散逸の大きさと空間的分布を定量すること。
• 数値解像度および境界配置の変更に対する結果の頑健性を検証すること。

提案手法

• 計量テンソル gij = (1 + δg)δij を用いて、曲がった2次元多様体上での流体流れをモデル化し、δg をガウス型摂動とする。
• 局所的曲率を測定するため、リッチ曲率スカラー R を定義する。正の曲率は測地線の経路を収束させる。
• 流入・流出に開放境界条件を、横方向に周期的境界条件を適用した格子ボルツマン法を用いて流体の流れをシミュレートし、壁に起因する散逸を回避する。
• エネルギー散逸関数 ψ = (∇iuj)σij を計算する。ここで σij は、共変微分と運動粘性係数 ν を用いて定義される粘性応力テンソルである。
• 圧力勾配を用いて流れを駆動し、定常状態を達成させ、定常状態における散逸パターンの解析を可能にする。
• グリッド解像度 ∆ を変化させた収束テストを実施し、数値的頑健性を確認。∆ = 1/2 の場合、誤差が1%未満であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固体壁や外部障害物が存在しない状況下でも、内在的曲率のみが粘性応力およびエネルギー散逸を生成できるか？
• RQ2 曲率の空間的分布が、曲面における速度勾配および渦度の形成にどのように影響するか？
• RQ3 曲率の強さ（振幅 a0 と幅 r0）とそれによるエネルギー散逸との間の定量的関係は何か？
• RQ4 境界配置や数値解像度の変更に対して、シミュレーション結果はどの程度頑健か？
• RQ5 曲率誘発慣性力は、曲がった石鹸膜における実験的流れの歪みをどの程度説明できるか？

主な発見

• 固体境界や外部力が存在しない状況下でも、空間の内在的曲率のみが粘性応力を生成し、測定可能なエネルギー散逸を引き起こす。
• エネルギー散逸関数 ψ は、曲率源を中心に四極子型のパターンを示し、石鹸膜実験で観察された渦度構造と類似している。
• 曲率誘発散逸は、正のリッチ曲率による測地線の収束によって生じる速度勾配に直接関連している。
• 数値シミュレーションでは、グリッド解像度の変更（誤差 <1%、∆=1/2 時）および流入・流出境界の配置を曲率源から十分に離して設置した場合、全散逸量が頑健であることが示された。
• 散逸の大きさは曲率振幅 a0 と幅 r0 に比例し、シミュレーションデータから逆透過率 α と β のフィッティング関数が導出された。
• 系のレイノルズ数は約 Re ≈ 0.6 であり、慣性力が小さい低慣性状態であり、曲率効果が慣性力よりも支配的であることが示された。