[論文レビュー] Energy Distribution in Spring Pendulums

M. C. de Sousa, F. A. Marcus+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Chaos control and synchronization被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形に結合された系における全エネルギーを分解するための新規な解析手法を提案し、2次元スプリング・ペンダulumに適用することで、スプリング的エネルギー、ペンダulum的エネルギー、および結合エネルギーの3つの異なるエネルギー成分を特定した。時間的および空間的平均を、周期的、準周期的、カオス的など多様な軌道に対して分析することで、非線形結合項によって定量化される結合強度がパラメータ空間全体でどのように変化するかを明らかにした。これにより、エネルギー交換が強い領域と弱い領域を同定した。

ABSTRACT

Intrinsically nonlinear coupled systems present different oscillating components that exchange energy among themselves. We present a new approach to deal with such energy exchanges and to investigate how it depends on the system control parameters. The method consists in writing the total energy of the system, and properly identifying the energy terms for each component and, especially, their coupling. To illustrate the proposed approach, we work with the bi-dimensional spring pendulum, which is a paradigm to study nonlinear coupled systems, and is used as a model for several systems. For the spring pendulum, we identify three energy components, resembling the spring and pendulum like motions, and the coupling between them. With these analytical expressions, we analyze the energy exchange for individual trajectories, and we also obtain global characteristics of the spring pendulum energy distribution by calculating spatial and time average energy components for a great number of trajectories (periodic, quasi-periodic and chaotic) throughout the phase space. Considering an energy term due to the nonlinear coupling, we identify regions in the parameter space that correspond to strong and weak coupling. The presented procedure can be applied to nonlinear coupled systems to reveal how the coupling mediates internal energy exchanges, and how the energy distribution varies according to the system parameters.

研究の動機と目的

• 内在的に非線形な結合系における全エネルギーを、物理的に意味のある異なる成分に分解する体系的な手法の開発。
• 特に結合強度に注目して、振動モード間のエネルギー交換がシステムの制御パラメータにどのように依存するかの理解。
• スプリング・ペンダulumの位相空間内における、周期的、準周期的、カオス的といった異なる力学的状態におけるエネルギー分布の分析。
• 結合エネルギー項を用いて、パラメータ空間内で結合によって強いまたは弱いエネルギー移動が生じる領域を同定すること。
• スプリング・ペンダulumモデルを超えて、他の非線形結合系への応用を想定したこの手法の一般化。

提案手法

• スプリング・ペンダulum系の全エネルギーを、運動エネルギーとポテンシャルエネルギー（スプリングおよびペンダulumの寄与を含む）の和として定義する。
• 全エネルギーを、スプリング的エネルギー、ペンダulum的エネルギー、および非線形結合エネルギー項という3つの明確に区別された成分に分解する。
• 各エネルギー成分の解析的表現を用いて、位相空間内での個々の軌道に沿ったエネルギーの時間発展を追跡する。
• 多数の軌道にわたる各エネルギー成分の時間的および空間的平均を計算し、グローバルなエネルギー分布パターンを抽出する。
• スプリングとペンダulumの自由度間の非線形相互作用に基づいて導出された結合エネルギー項を導入し、結合強度を定量化する。
• スプリング・ペンダulumのパラメータ空間をマップし、結合エネルギーが支配的（強い結合）または最小（弱い結合）となる領域を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スプリング・ペンダulumのような非線形に結合された系における全エネルギーを、物理的に意味のある成分にどのように分解できるか。
• RQ2 非線形結合項が、スプリングモードとペンダulumモード間のエネルギー交換をどのように媒介するか。
• RQ3 位相空間内における異なる力学的状態（周期的、準周期的、カオス的）において、エネルギー分布はどのように変化するか。
• RQ4 システムのパラメータ空間内で、結合エネルギー項によって定義される強い結合または弱い結合に対応する領域はどこか。
• RQ5 このエネルギー分解手法は、スプリング・ペンダulumモデルを超えて、他の非線形結合系へどの程度一般化可能か。

主な発見

• 提案手法により、スプリング的エネルギー、ペンダulum的エネルギー、および結合エネルギーという3つの明確に区別されたエネルギー成分が成功裏に分離され、内部エネルギー交換の詳細な分析が可能になった。
• 結合エネルギー項は、相互作用強度を定量的に測る指標を提供し、パラメータ空間内で強い結合または弱い結合となる領域を同定可能となった。
• エネルギー成分の時間的および空間的平均は、周期的、準周期的、カオス的といった異なる力学的状態におけるエネルギー分布の系統的変化を明らかにした。
• 結合エネルギー項は、非線形相互作用が存在する場合にのみ非ゼロとなり、モード間のエネルギー移動を直接示す指標であることが確認された。
• 強い結合領域では、スプリングとペンダulumモード間でエネルギー交換が顕著に増幅するのに対し、弱い結合領域ではエネルギー分布がより局在的となる。
• 本手法は一般化可能であり、他の内在的に非線形な結合系に対しても、その内部エネルギーダイナミクスとパラメータ依存挙動を研究する応用が可能である。