[論文レビュー] Energy gaps of Hamiltonians from graph Laplacians

Abbas Al-Shimary, Jiannis K. Pachos|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Graph theory and applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非正の非対角要素を持つstoquasticハミルトニアン（非正の非対角要素を持つもの）のスペクトルギャップを厳密に評価する一般化されたチーリング不等式フレームワークを導入する。これは、基底状態から導かれる重み付きグラフと関連付けることで実現される。低次元グラフを構築し、そのチーリング定数を最適化することで、熱力学的極限においても有限なままのスケーラブルで幾何学的な下界が得られ、イジング鎖やスピン1/2系といった、標準的手法が失敗するモデルにおいてもギャップのある相を正当に示すことができる。

ABSTRACT

The Cheeger inequalities give an upper and lower bound on the spectral gap of discrete Laplacians defined on a graph in terms of the geometric characteristics of the graph. We generalise this approach and we employ it to determine if a given discrete Hamiltonian with non-positive elements is gapped or not in the thermodynamic limit. First, we define the graph that corresponds to such a generic Hamiltonian. Then we present a suitable generalisation of the Cheeger inequalities that overcomes scaling deficiencies of the original version. By employing simple examples we illustrate how the generalised Cheeger inequalities can successfully identify gapped or gapless phases and we comment on the computational complexity of this approach.

研究の動機と目的

• 多体量子系におけるスペクトルギャップの効率的でない下界の欠如に取り組むこと、特に熱力学的極限において。
• 基底状態から対応するグラフラプラシアンを構築することで、古典的チーリング不等式をstoquasticハミルトニアンに拡張すること。
• 標準的チーリング不等式のスケーリング制限を克服するため、エネルギーギャップの下界を最適化できる低次元グラフを導入すること。
• 完全な固有値分解なしにハミルトニアンがギャップありかギャップなしかを理論的・数値的に取り扱える方法を提供すること。

提案手法

• 相似変換を用いて、基底状態から非対称グラフラプラシアンを導出し、stoquasticハミルトニアンと関連付ける。
• 辺の重みをハミルトニアン行列要素と基底状態の振幅から導いた重み付きグラフを定義する。
• スペクトルギャップの下界を最適化するための低次元グラフ $\tilde{G}$ を導入し、チーリング定数と最大次数の両方を制御可能にする。
• 一般化されたチーリング不等式を導出する：$\triangle(H) \triangleq \triangle(L) \triangleq \tilde{\rho}^2 / (2c)$、ここで $\tilde{\rho}$ は低次元グラフのチーリング定数、$c$ はその最大次数である。
• 最大フローと最小カットの双対性を用いて下界を確立し、幾何的制約の効率的計算を可能にする。
• 本手法をイジング鎖やハイパーキューブに基づくスピンモデルといったモデル系に適用し、ギャップあり・ギャップなしの相を識別する有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的・グラフ理論的手法は、熱力学的極限においてstoquasticハミルトニアンのスペクトルギャップに対して非自明な下界を提供できるか？
• RQ2 特に系のサイズに伴うスケーリングの悪化が顕著な古典的チーリング不等式の制限は、どのようにギャップ推定において克服できるか？
• RQ3 元のグラフと比較して、低次元グラフの構築がエネルギーギャップの下界を体系的に改善できるか？
• RQ4 一般化されたチーリング不等式は、横磁場付き1次元イジング模型のようなギャップあり相を正しく同定できるか？
• RQ5 2次元AKLT模型のように、ギャップなしの証明が未だなされていない物理的に重要な複雑な系へ、この手法はどの程度適用可能か？

主な発見

• 一般化されたチーリング不等式により、stoquasticハミルトニアンのスペクトルギャップに対する下界が得られる：$\triangle(H) \triangleq \tilde{\rho}^2 / (2c)$、ここで $\tilde{\rho}$ は低次元グラフのチーリング定数、$c$ はその最大次数である。
• 横磁場付き1次元イジング模型では、系のサイズ $n$ が増加しても一般化された下界は有限かつ非ゼロのまま維持されるのに対し、標準的チーリング下界は減少する。
• $Q_4$ ハイパーキューブ模型では、チーリングカットに属する辺のみを保持する低次元グラフを選択することで、系のサイズに依存しない下界 $B/2$ が得られ、ギャップあり相が証明される。
• 標準的チーリング不等式がスケーリングの悪さのため失敗するスピン1/2模型においても、本手法はギャップあり相を正しく同定する。
• 本手法により、困難なスペクトルギャップ推定問題が、グラフ上の幾何的最適化問題に変換され、これはNP完全ではあるが近似法やヒューリスティクスを用いて取り扱える。
• 本フレームワークにより、完全な固有値分解なしに厳密なギャップ解析が可能となり、量子多体系におけるギャップ挙動のスケーラブルな代替手法を提供する。