[論文レビュー] Energy minimizing harmonic almost complex structures

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなほぼヘルミート多様体上のエネルギー最小化な調和的ほぼ複素構造を研究するために、$W^{1,2}$ ソボレフ設定における許容的 almost complex 構造を導入する。Euler-Lagrange 方程式を半線形楕円型系 $\Delta J - J\nabla_p J \nabla_p J = 0$ に再定式化することで、$\epsilon$-正則性および定量的ストラティフィケーションを用いて完全な正則性を確立し、エネルギー最小化な許容的 almost complex 構造が、$S^4$ のような滑らかな almost complex 構造を持たない非複素多様体ですらも滑らかであることを証明する。これらの結果は、非テンソリアルで計量制約付きの設定において、Schoen-Uhlenbeck の正則性理論を拡張するものである。

ABSTRACT

We study the existence and regularity of energy-minimizing harmonic almost complex structures. We have proved results similar to the theory of harmonic maps, notably the classical results of Schoen-Uhlenbeck and recent advance by Cheeger-Naber.

研究の動機と目的

• 滑らかな almost complex 構造の一般化として、$W^{1,2}$ ソボレフ空間における許容的 almost complex 構造を定義し、それらを研究すること。
• 滑らかな almost complex 構造が存在しない $S^4$ を含む、コンパクトなリーマン多様体上でのエネルギー最小化な許容的 almost complex 構造の存在およびコンパクト性を確立すること。
• エネルギー最小化な許容的 almost complex 構造が滑らかであることを証明し、調和写像の正則性理論を超えて拡張すること。

提案手法

• 滑らかな適合 almost complex 構造の $W^{1,2}$ 限界として許容的 almost complex 構造を定義し、背景計量との適合性を保つ。
• 調和的 almost complex 構造方程式を $\Delta J - J\nabla_p J \nabla_p J = 0$ に再定式化し、調和写像方程式に類似した半線形楕円型系とする。
• 背景計量からの制約を克服するため、計量適合 almost complex 構造への標準射影を用いて比較的 almost complex 構造を構成する。
• $\epsilon$-正則性および定量的ストラティフィケーション技術（Schoen-Uhlenbeck や Cheeger-Naber のインスピレーションを受ける）を用いて特異集合を制御する。
• 差分商および重み付き $L^p$ 評価を用いて、すべての $p < \infty$ に対して $\partial J \in L^p_{\text{loc}}$ を証明し、滑らかさへのブートストラップを可能にする。
• エネルギー最小化系のBochner公式および単調性公式を活用して、成長および特異性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな適合構造が存在しない状況において、$W^{1,2}$ 設定におけるエネルギー最小化 almost complex 構造は正則化可能か？
• RQ2 調和的 almost complex 構造の正則性理論は、調和写像と比較して、背景リーマン計量によってどの程度制約を受けるか？
• RQ3 $\epsilon$-正則性および定量的ストラティフィケーションは、エネルギー最小化 almost complex 構造へどの程度適用可能か？
• RQ4 エネルギー最小化な許容的 almost complex 構造の特異集合はストラティフィケーション可能であり、有限余次元を持つと示せるか？
• RQ5 $L^2$ 勾配を持つ弱調和的 almost complex 構造は、必然的に滑らかか？

主な発見

• 任意の偶数次元のコンパクトなリーマン多様体、$S^4$ を含む、エネルギー最小化な許容的 almost complex 構造が存在し、$W^{1,2}$ 位相においてコンパクトな集合をなす。
• エネルギー最小化調和写像に関する主要な正則性結果（$\epsilon$-正則性、特異集合のストラティフィケーション、正則性スケール）は、エネルギー最小化な許容的 almost complex 構造に対しても拡張可能である。
• 差分商と重み付き推定の帰納的議論により、すべての $p \in (1, \infty)$ に対して $\partial J$ の $L^p$ 可積分性が確立される。
• Euler-Lagrange 方程式 $\Delta J - J\nabla_p J \nabla_p J = 0$ は、$W^{2,p}$ から $C^{1,\alpha}$ へ、さらに滑らかさへとブートストラップ可能な半線形楕円型系である。
• 任意の almost complex 構造から計量適合構造への標準的構成により、$\epsilon$-正則性証明に不可欠な比較構造が構成可能である。
• エネルギー最小化な許容的 almost complex 構造の特異集合は、ハウスドルフ余次元 4 以上であり、調和写像と同様に、正則性スケールによってストラティフィケーションされる。