[論文レビュー] Energy-momentum tensor for the electromagnetic field in a dispersive medium as an application of Noether theorem

Heredia, Carlos, Llosa, Josep|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2020

Electromagnetic Scattering and Analysis被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、分散媒質における電磁エネルギー運動量テンソルを、非局所ラグランジアンと非局所場理論の拡張されたノネルの定理を用いて導出する。周波数依存の誘電率と磁化率を組み込んだ非局所作用関数に変分原理を適用することで、対称なベルンフェンシュタイン＝ローゼンフェルト型エネルギー運動量テンソルが得られ、これはミンコフスキーの形式を分散媒質に一般化し、束縛電荷および電流の寄与を含めたエネルギーと運動量の適切な保存則を保証する。

ABSTRACT

On the basis of a non-local Lagrangian for Maxwell equations in a dispersive medium, the energy-momentum tensor of the field is derived. We obtain the Field equations through variational methods and an extension of Noether theorem for a non-local Lagrangian is obtained as well. The electromagnetic energy-momentum tensor obtained in the general context is then specialized to the case of a field with slowly varying amplitude on a rapidly oscillating carrier.

研究の動機と目的

• 分散媒質における電磁エネルギー運動量テンソルを、非局所ラグランジアン形式を用いて導出すること。
• ポincare対称性の保存量を導出するため、非局所場理論にノネルの定理を拡張すること。
• コンvolutionカーネルを用いて極化および磁化効果を含めることで、ミンコフスキーのエネルギー運動量テンソルを分散媒質に一般化すること。
• 通常の非対称テンソルから対称なベルンフェンシュタイン＝ローゼンフェルトテンソルを構築することで、エネルギーと運動量の保存を保証すること。
• 束縛電荷および電流の寄与を考慮することで、分散媒質におけるポインティングの定理の不整合を解消すること。

提案手法

• 周波数依存のε(ω)およびμ(ω)のフーリエ変換から得られるコンvolutionカーネルを用いて、分散媒質におけるマクスウェル方程式の非局所ラグランジアンを定式化する。
• 非局所関数の変分法を適用し、非局所関数に対するオイラー＝ラグランジュ方程式を用いて場の運動方程式を導出する。
• 時空並進およびローレンツブーストを含むポincare変換の下で保存量を導出するため、非局所系にノネルの定理を拡張する。
• ノネルの保存量から得られる保存量を用いて、非局所的依存性をコンvolution積分を介して取り入れた、初期エネルギー運動量テンソルを構築する。
• スピンおよび軌道的角運動量の寄与を含む発散がゼロのスーパーポテンシャルを加えることにより、初期テンソルを対称化するベルンフェンシュタイン＝ローゼンフェルト手順を適用する。
• 振幅がゆっくり変化する極限において、対称なベルンフェンシュタイン＝ローゼンフェルトテンソルを明示的に評価し、εおよびμが定数のとき既知の非分散系の結果と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周波数依存の誘電率と磁化率を有する分散媒質における電磁場を記述する非局所ラグランジアンに対して、ノネルの定理をどのように一般化できるか。
• RQ2 誘電率および磁化率が周波数依存である場合、分散媒質における電磁場のエネルギー運動量テンソルの形はどのようなものか。
• RQ3 コンボリューションカーネルを用いた極化および磁化の取り入れ方は、エネルギーと運動量の保存則にどのように影響を与えるか。
• RQ4 保存された全エネルギー運動量および発散の保存を保ちつつ、分散媒質において対称なエネルギー運動量テンソルを構築することは可能か。
• RQ5 標準的なポインティングの定理がなぜ分散媒質で破綻するのか、そして束縛電荷および電流の寄与を考慮することで、この問題をどのように是正できるか。

主な発見

• 分散媒質における電磁場のエネルギー運動量テンソルは、コンボリューションに基づく物性関係を用いた非局所ラグランジアンから導出され、変分原理を適用することで場の運動方程式が得られる。
• 非局所場理論にノネルの定理を拡張し、時空並進およびローレンツブーストを含むポincare変換の下で保存量が得られることを確立した。
• 非局所的依存性を有する応答関数のため、非局所ラグランジアンから得られる初期エネルギー運動量テンソルは非対称である。
• スピンおよび軌道的角運動量の寄与を含む発散がゼロのスーパーポテンシャルを初期テンソルに加えることで、対称なベルンフェンシュタイン＝ローゼンフェルトテンソルが構築され、全エネルギー運動量および発散の保存が保たれる。
• 非分散極限において、導出されたベルンフェンシュタイン＝ローゼンフェルトテンソルは標準的なミンコフスキー形式に還元され、既知の結果と整合することが確認された。
• 対称なエネルギー運動量テンソルは、束縛電荷および電流に蓄えられたエネルギーと運動量を適切に扱い、分散媒質におけるポインティングの定理の破綻を解消する。