[論文レビュー] Energy-optimal strokes for multi-link microswimmers: Purcell's loops and Taylor's waves reconciled

Alouges, Fran\c{c}ois, Antonio DeSimone+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Micro and Nano Robotics参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小振幅のうねり運動におけるNリンク微小遊泳体のエネルギー最適なストロークを定式化し、最適ストロークが関節角空間内で平面的な楕円であることを示している。Nが大きい場合には、それらは進行波に収束する。大振幅の場合は、数値解法により非平面的で複雑なループが得られ、幾何的制御理論と最適制御最適化を通じて、プルーセルのループベースとテイラーの波ベースの遊泳パラダイムが統合される。

ABSTRACT

Micron-scale swimmers move in the realm of negligible inertia, dominated by viscous drag forces. In this paper, we formulate the leading-order dynamics of a slender multi-link (N-link) microswimmer assuming small-amplitude undulations about its straight configuration. The energy-optimal stroke to achieve a given prescribed displacement in a given time period is obtained as the largest eigenvalue solution of a constrained optimal control problem. Remarkably, the optimal stroke is an ellipse lying within a two-dimensional plane in the (N-1)-dimensional space of joint angles, where N can be arbitrarily large. For large N, the optimal stroke is a traveling wave of bending, modulo edge effects. If the number of shape variables is small, we can consider the same problem when the prescribed displacement in one time period is large, and not attainable with small variations of the joint angles. The fully nonlinear optimal control problem is solved numerically for the cases N=3 (Purcell's three-link swimmer) and N=5 showing that, as the prescribed displacement becomes small, the optimal solutions obtained using the small-amplitude assumption are recovered. We also show that, when the prescribed displacements become large, the picture is different. For N=3 we recover the non-convex planar loops already known from previous studies. For N=5 we obtain non-planar loops, raising the question of characterizing the geometry of complex high-dimensional loops.

研究の動機と目的

• 微小遊泳における2つの主要なパラダイムを統合すること：閉ループによる非可逆形状変化（プルーセル）と進行波（テイラー）。
• 細長い多リンク微小遊泳体が小振幅うねり運動を行う場合のエネルギー最適ストロークを特定すること。
• N=3およびN=5の遊泳体に対して、大振幅で完全非線形なストロークへの分析を拡張すること。
• 特にN≥5の場合の高次元形状空間における最適ストロークの幾何的構造を同定すること。
• 大Nの極限における変位およびエネルギー消費のスケーリング則を導出すること。

提案手法

• 抵抗力理論と小振幅近似を用いて、Nリンク微小遊泳体の一次近似動的挙動を定式化する。
• 1周期の間の所定の変位を達成するためのエネルギー消費を最小化する制約付き最適制御問題を解く。
• 最適ストロークが関節角変動の二次形式の最大固有値解として特定されることを示す。
• 幾何的制御理論を用いて、最適ストロークが(N-1)次元の関節角空間内に2次元平面に存在することを示す。
• N=3およびN=5の完全非線形最適制御問題を数値的に解くためにBocop最適化ツールボックスを用いる。
• 固定振幅および位相差を持つ進行波ゲートを用いて、大N極限における変位およびエネルギーのスケーリング則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小振幅駆動における多リンク微小遊泳体のエネルギー最適ストロークの幾何的構造は何か？
• RQ2 所定の変位が増加するに従い、最適ストロークが平面的楕円から複雑な非平面的ループへどのように遷移するか？
• RQ3 小振幅結果が、小変位における完全非線形解にどの程度収束するか？
• RQ4 大N極限における変位およびエネルギー消費のスケーリング則は何か？
• RQ5 N≥5の場合の最適ストローク幾何は、平面的または波動的形態を超えてどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 小振幅ストロークでは、Nの値に関わらず、(N-1)次元の関節角空間内で平面的楕円としてエネルギー最適なゲートが得られる。
• Nが増加するにつれ、最適ストロークは進行波の湾曲に漸近的に近づき、中心から両端へ対称的に振幅が減衰する。
• 大変位が所定の変位として与えられる場合、3リンク遊泳体の最適ストロークは非凸な平面的ループとなり、先行研究と整合する。
• 5リンク遊泳体では、最適ストロークは非平面的であり、複雑な高次元幾何を示しており、最適ゲートに新たな構造的特徴があることを示唆している。
• 所定の変位が小さい場合、小振幅解と完全非線形解の両方が同じ平面的楕円に収束する。
• スケーリング則により、大Nにおいて変位はε²lに比例し、エネルギーはε²Nl³/Tに比例することが示され、固定リンク長のもとでエネルギー消費はNに線形に増加する。