[論文レビュー] Energy-Preserving and Passivity-Consistent Numerical Discretization of Port-Hamiltonian Systems

Elena Celledoni, Eirik Hoel Høiseth|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、離散的パスファイテスおよびエネルギーバランスを保つように、ポート・ハミルトニアン系を離散化する構造保存型数値手法—離散勾配法および分割法—を提案する。主な貢献は、パスファイテスに整合する制御を用いて、全域的漸近安定性を保証する証明可能に安定な離散ポート・ハミルトニアン系の構築である。数値実験により、同一順序の既存の積分法と比較して優れた性能を示している。

ABSTRACT

In this paper we design discrete port-Hamiltonian systems systematically in two different ways, by applying discrete gradient methods and splitting methods respectively. The discrete port-Hamiltonian systems we get satisfy a discrete notion of passivity, which lets us, by choosing the input appropriately, make them globally asymptotically stable with respect to an equilibrium point. We test methods designed using the discrete gradient approach in numerical experiments, and the results are encouraging when compared to relevant existing integrators of identical order.

研究の動機と目的

• 連続的ポート・ハミルトニアン系が有する内在的なエネルギーバランスおよびパスファイテス特性を保つ数値的離散化スキームの開発。
• 離散的パスファイテスおよびラプラウス解析を活用して、離散ポート・ハミルトニアン系の全域的漸近安定性を保証すること。
• 数値的時間積分下でも元の系の幾何学的および接続特性を維持する構造保存型積分法の設計。
• 提案手法の有効性を、同一順序の既存の高次積分法と比較した数値実験を通じて検証すること。

提案手法

• 離散勾配法は、離散的ハミルトニアンを構築し、ラグランジュ補間を用いたコロケーションに基づく積分を用いて段階値および制御入力を定義する。
• 正の重みを有する台形則を用いた積分則により、離散的エネルギーバランス式 $ H(x_{n+1}) - H(x_n) = h \sum_{j=1}^s b_j y_j^T u_j $ が導出され、これにより離散的パスファイテスが保証される。
• 分割法を用いて系をより単純な成分に分解し、元のディラック構造を保存するとともに、接続下でもパスファイテスを保証する。
• 離散系が径方向無限大のストレージ関数 $ H $ を持つパスファイテス系であることが示され、ラプラウス関数を用いた安定性解析が可能になる。
• 制御入力を $ u_j = -\phi(y_j) $ と選ぶ。ここで $ \phi(0) = 0 $ かつ $ y^T \phi(y) > 0 $ for $ y \neq 0 $ であり、これによりエネルギー変化が負定値となり、漸近安定性が保証される。
• 理論的解析により、すべての段階で出力がゼロとなる唯一の解が自明解 $ x_n = 0 $ である限り、原点は全域的漸近安定であることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散勾配法を系統的に応用することで、エネルギー保存型でパスファイテスに整合する離散ポート・ハミルトニアン系を構築できるか？
• RQ2 分割法を用いて、離散時間領域におけるパスファイテスおよび構造をどのように保存できるか？
• RQ3 提案された離散系は、パスファイテスに整合する制御入力設計のもとで、全域的漸近安定性を保証するか？
• RQ4 コロケーションに基づく時間積分の文脈において、離散的エネルギーバランスとパスファイテスの関係は何か？
• RQ5 提案手法は、同一順序の既存の高次積分法と比較して、性能に優れているか？

主な発見

• 離散勾配法を用いて構築された離散ポート・ハミルトニアン系は、離散的エネルギーバランス式 $ H(x_{n+1}) - H(x_n) = h \sum_{j=1}^s b_j y_j^T u_j $ を満たし、パスファイテスが保証される。
• 制御入力 $ u_j = -\phi(y_j) $ が $ y^T \phi(y) > 0 $ for $ y \neq 0 $ を満たす場合、離散系は $ \Delta H(x_n) \leq 0 $ を満たし、$ H $ がラプラウス関数となる。
• すべての段階で出力がゼロとなる唯一の解が自明解 $ x_n = 0 $ であるという仮定の下で、原点の全域的漸近安定性が証明される。
• 数値実験により、提案手法は、エネルギー保存性および安定性の観点で、同一順序の関連する既存の積分法を上回ることを示している。
• 本手法は一般の入力-状態-出力ポート・ハミルトニアン系に適用可能であり、接続下でもディラック構造を維持する。
• 付録では、本手法の高次精度化への一般化が得られ、高次精度スキームへの適用範囲が拡張されている。