[論文レビュー] Energy-preserving fully-discrete schemes for nonlinear stochastic wave equations with multiplicative noise

Jialin Hong, Baohui Hou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 36被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、空間方向にコンパクト有限差分法（CFD）または内部ペナルティ不連続ガラーキン法（IPDG）を、時間方向に離散勾配法とパデ近似を組み合わせることで、乗法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式に対するエネルギー保存型完全離散スキームを提案する。主な貢献は、乗法的ノイズが存在する場合でさえも、離散化された平均エネルギー発展則を正確に保存することの理論的証明であり、数値実験により線形エネルギー成長と1次時間収束が確認された。

ABSTRACT

In this paper, we focus on constructing numerical schemes preserving the averaged energy evolution law for nonlinear stochastic wave equations driven by multiplicative noise. We first apply the compact finite difference method and the interior penalty discontinuous Galerkin finite element method to discretize space variable and present two semi-discrete schemes, respectively. Then we make use of the discrete gradient method and the Pad\'e approximation to propose efficient fully-discrete schemes. These semi-discrete and fully-discrete schemes are proved to preserve the discrete averaged energy evolution law. In particular, we also prove that the proposed fully-discrete schemes exactly inherit the averaged energy evolution law almost surely if the considered model is driven by additive noise. Numerical experiments are given to confirm theoretical findings.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズによって駆動される非線形確率波動方程式の平均エネルギー発展則を正確に保存する完全離散数値スキームの開発を目的とする。
• 乗法的ノイズ下でも平均エネルギー発展則を正確に継承する既存の完全離散スキームの欠如に応えることを目的とする。
• 高次精度の空間離散化（CFDまたはIPDG）と、離散勾配法およびパデ近似によるエネルギー保存型時間積分法を組み合わせることを目的とする。
• 提案スキームが理論的にも数値的にも離散化された平均エネルギー発展則を保存することを証明することを目的とする。
• エネルギー発展と収束率の比較を通じて、テスト問題 f(u) = sin(u), f(u) = u^3, g(u) = 1, sin(u), u を用いてスキームを数値的に検証することを目的とする。

提案手法

• 確率波動方程式を空間方向にコンパクト有限差分法（CFD）および内部ペナルティ不連続ガラーキン法（IPDG）で離散化し、半離散確率微分方程式を得る。
• 非線形ドリフト項には離散勾配法を、拡散項には時間方向にパデ近似を適用し、エネルギー保存を保証する。
• 得られた完全離散スキームが、乗法的ノイズおよび加法的ノイズの両ケースにおいて、離散化された平均エネルギー発展則を正確に保存することを証明する。
• 加法的ノイズの場合、スキームがほとんど確実に平均エネルギー発展則を保存することを示す。
• 空間および時間離散化法の組み合わせに基づき、6つの数値スキーム（CFD-I, CFD-II, CFD-CNM, DG-I, DG-II, DG-CNM）を構築する。
• f(u) = sin(u), f(u) = u^3, g(u) = 1, sin(u), u のテスト問題を用いて、エネルギー発展と収束率の比較を通じてスキームを数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式に対して、平均エネルギー発展則を正確に保存する完全離散スキームを構築可能か？
• RQ2 コンパクト有限差分法および内部ペナルティ不連続ガラーキン法を空間離散化に用いた場合、離散化された平均エネルギーをどの程度正確に保存できるか？
• RQ3 時間方向に離散勾配法とパデ近似を組み合わせることで、完全離散設定下でもエネルギー保存が保証されるか？
• RQ4 理論的予測通り、提案スキームが線形エネルギー成長および1次時間収束を維持するか？
• RQ5 標準スキーム（C-NおよびBEM）と比較して、提案スキームは平均エネルギー発展則をどの程度正確に保存するか？

主な発見

• CFDまたはIPDGを空間離散化に、離散勾配法およびパデ近似を時間離散化に用いた提案完全離散スキームは、乗法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式に対して、離散化された平均エネルギー発展則を正確に保存する。
• 加法的ノイズ（g(u) = 定数）の場合、スキームはほとんど確実に平均エネルギー発展則を保存し、理論的一致性を確認した。
• 数値実験により、CFD-I, CFD-II, DG-I, DG-IIスキームは、正確な解と一致する線形の平均エネルギー成長を示し、エネルギー保存が確認された。
• 一方、CFD-CNMおよびDG-CNMスキームは平均エネルギー発展則を保存せず、非線形的かつ速いエネルギー成長を示した。
• 6つのスキーム（CFD-I, CFD-II, CFD-CNM, DG-I, DG-II, DG-CNM）の時間収束次数は、誤差とステップサイズの対数プロットから概ね1であることが示された。
• g(u) = u の場合、g(u) = sin(u) の場合よりもエネルギーの成長が速くなるが、これは加法的ノイズの理論的成長率 λ²/2 Tr(Q) と整合的である。