[論文レビュー] Energy scattering for a class of the defocusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation

Van Duong Dinh|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$ d \geq 3 $ における $ \mathbb{R}^d $ 上の非線形項 $ |x|^{-b}|u|^\alpha u $ を持つ非焦点化不均一非線形シュレーディンガー方程式について、$ \alpha_\star < \alpha < \alpha^\star $ の範囲でエネルギー散乱を確立する。ここで $ \alpha_\star = \frac{4-2b}{d} $、$ \alpha^\star = \frac{4-2b}{d-2} $ である。証明は、Visciglia型の議論を用いて得られるグローバル解の減衰推定に基づくもので、その後、Strichartz型の議論により $ H^1 $ 上での自由解への漸近的収束を示し、散乱の確認がなされる。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of the defocusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation \[ i\partial_t u + Δu - |x|^{-b} |u|^αu = 0, \quad u(0)=u_0 \in H^1, \] with $b, α&gt;0$. We firstly study the decaying property of global solutions for the equation when $0

研究の動機と目的

• 非焦点化不均一非線形シュレーディンガー方程式（逆べき乗非線形項 $ |x|^{-b}|u|^\alpha u $ を持つ）のエネルギー散乱を、$ \mathbb{R}^d $（$ d \geq 3 $）で確立すること。
• $ 0 < \alpha < \alpha^\star $ の範囲でグローバル $ H^1 $ 解の減衰性を分析すること。ここで $ \alpha^\star = \frac{4-2b}{d-2} $ である。
• $ \alpha_\star < \alpha < \alpha^\star $ の範囲で、グローバル存在と散乱の間のギャップを埋めること。ここで $ \alpha_\star = \frac{4-2b}{d} $ である。
• バーラル型推定と減衰制御を活用することで、散乱理論を不均一設定に拡張すること。

提案手法

• Visciglia（2012）のアイデアを模倣した議論を、不均一非線形項に適応することで、グローバル $ H^1 $ 解の減衰推定を導出する。
• 得られた減衰推定を用いて、Duhamel形式における非線形項の制御をStrichartz推定で行う。
• $ S(L^2) $-ノルムおよび $ S^\prime(L^2) $-ノルムの枠組みを用いて、解の漸近的挙動を分析する。
• 質量とエネルギーの保存則を用いて、$ H^1 $ 上での解の一様有界性を維持する。
• 連続性の議論と小データ摂動論を適用し、解ノルムの時間的有界性を示す。
• 波動作用素の存在を、$ H^1 $ 上での極限 $ u^+_0 := \lim_{t \to \infty} e^{-it\Delta} u(t) $ を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非焦点化不均一非線形シュレーディンガー方程式（非線形項 $ |x|^{-b}|u|^\alpha u $ を持つ）は、$ \alpha_\star < \alpha < \alpha^\star $ の範囲でエネルギー散乱を示すか？
• RQ2 グローバル $ H^1 $ 解が十分に速く減衰することを示すことで、散乱の実現が可能になるか？
• RQ3 不均一項 $ |x|^{-b} $ は、標準的NLSと比較して散乱挙動にどのような影響を及えるか？
• RQ4 臨界指数 $ \alpha_\star $ と $ \alpha^\star $ の間の相互作用が、長時間的ダイナミクスにどのように影響を与えるか？

主な発見

• $ 0 < \alpha < \alpha^\star $ の範囲で、非焦点化不均一NLSのグローバル解は $ L^\infty $-型ノルムで減衰し、非線形項の制御が可能になる。
• $ \alpha_\star < \alpha < \alpha^\star $ の範囲では、解 $ u $ はすべてのシュレーディンガー適性ペア $ (p,q) $ に対して $ u \in L^p_t(\mathbb{R}, W^{1,q}_x) $ を満たし、正則性と可積分性が保証される。
• 非線形項 $ |x|^{-b}|u|^\alpha u $ が $ S'(L^2, \mathbb{R}) $ に属することを示し、Strichartz推定を用いた散乱の証明における重要なステップが達成される。
• 波動作用素 $ u^+_0 $ は $ H^1 $ 上に存在し、$ \|u(t) - e^{it\Delta}u^+_0\|_{H^1} \to 0 $（$ t \to \infty $）を満たすため、散乱が確認される。
• 散乱結果は正負の時間に対して対称的であり、$ H^1 $ 上で対称的な漸近的挙動を示す。
• 証明は与えられたパrameter範囲に対して頑健であり、初期データの小ささに依存せず、保存則と減衰推定に依存する。