[論文レビュー] Energy spectra and eigenstates of quasiperiodic tight-binding Hamiltonians

Uwe Grimm, Michael Schreiber|Open Research Online (The Open University)|Dec 6, 2002

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 47被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、数値的手法を用いて2次元および3次元の準周期的タイトバインディングハミルトニアンのエネルギー準位と固有状態を調査する。その結果、固有状態は多次元的性質を示し、準位間隔統計は普遍的なランダム行列理論の分布に従い、量子拡散はフラクタルなスペクトル特性と関連している。また、相互作用によって1次元の非有理的系においてペイエルズ型の転移が誘発されることが明らかになった。

ABSTRACT

Analytic and numerical results for quasiperiodic tight-binding models are reviewed, with emphasis on two and three-dimensional models which so far are beyond a mathematically rigorous treatment. In particular, we consider energy spectra of aperiodic tight-binding models and the corresponding level statistics, which are well reproduced by random matrix theory. The eigenstates are characterised by multifractal analysis, and a construction of peculiar multifractal states on the Penrose tiling is discussed. We also consider quantum diffusion, and present some results on interacting electron systems in one dimension.

研究の動機と目的

• 準周期格子上の単電子モデルを分析することで、クライスタルの電子的性質を理解すること。
• 準周期的系における非周期的秩序と局在化の相関を調査し、不規則系および周期的系と対比すること。
• 1次元の非周期的系における電子間相互作用が金属-絶縁体転移をどのように駆動するかを検討すること。
• ラビリンスタイリングを含む高次元準周期タイリングにおける量子拡散およびスペクトルのフラクタル性を調査すること。
• 3次元準周期的モデル、例えばアーマン＝クレーマー＝ネリタイリングにおいて拡張状態が存在するかどうかを特定すること。

提案手法

• ペイノーズおよびアーマン＝ビンカー・タイリングを含む準周期的グラフ上の有限サイズのタイトバインディングハミルトニアンの数値的対角化。
• 無限系極限への外挿のための周期的近似法の使用。
• 波動関数振幅のスケーリングと参加比の逆数を用いた固有状態の多次元的性質の分析。
• 最近接準位間隔分布を用いた準位統計の調査。ランダム行列理論の予測と比較した。
• 準周期的系における波束の時間発展を用いた量子拡散の調査。
• ラビリンスタイリングにおける積構造を応用し、2次元の固有状態およびスペクトルを1次元成分に分解すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元および3次元の準周期的タイトバインディングモデルにおけるエネルギー準位と固有状態は、周期的系や不規則系とどのように異なるか？
• RQ2 準周期的系における固有状態の多次元的性質は、準位間隔統計とどの程度相関しているか？
• RQ3 1次元非周期的鎖における電子間相互作用が金属-絶縁体転移に与える影響は何か？
• RQ4 準周期的系における量子拡散は、エネルギースペクトルのフラクタル次元と定量的に関連づけられるか？
• RQ5 アーマン＝クレーマー＝ネリタイリングのような3次元準周期的モデルにおいて、拡張電子状態が存在するか？

主な発見

• ペイノーズタイリングのような2次元準周期的系における固有状態は、強い多次元的性質を示し、数値的解析および解析的構成によって確認された。
• 準周期的モデルにおける準位間隔統計は、多次元的固有状態の予想とは対照的に、普遍的なランダム行列理論の分布でよく記述される。
• ラビリンスタイリングにおける量子拡散は、下位の1次元オクタフォニーカンの積構造によって支配され、効率的な数値的取り扱いが可能である。
• 相互作用を伴う1次元非周期的系では、強い引力的相互作用下で絶縁体的性質から金属的性質へのペイエルズ型転移が発生し、特に有理的粒子密度のとき顕著である。
• 非有理的系の場合は、電子間相互作用が金属-絶縁体転移にほとんど影響を及ぼさないことが示され、この領域における転移の頑健性が示唆された。
• 数値的証拠から、空間次元が増加するにつれて局在化が減少する一般的な傾向が示唆されたが、3次元準周期的モデルにおける拡張状態の存在は未解決のままである。