[論文レビュー] Energy stable and accurate coupling of finite element methods and finite difference methods

Tuan Anh Dao, Ken Mattsson+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、和分部分（SBP）作用素と同時近似項（SAT）を用いて、連続ガラーキン有限要素（FE）法と高次有限差分（FD）法の間で、証明可能に安定で、精度が高く、エネルギーを保存するカップリング手法を提示する。この手法により、最小限の修正で非適合マルチブロックカップリングが可能となり、界面連続性を弱く強制するために非対角型ノルムSBP保存型補間作用素を用いる。これにより、非線形保存則や質量行列を lumping しない連続FE法に対しても、厳密な安定性と保存性を維持する。

ABSTRACT

We introduce a hybrid method to couple continuous Galerkin finite element methods and high-order finite difference methods in a nonconforming multiblock fashion. The aim is to optimize computational efficiency when complex geometries are present. The proposed coupling technique requires minimal changes in the existing schemes while maintaining strict stability, accuracy, and energy conservation. Results are demonstrated on linear and nonlinear scalar conservation laws in two spatial dimensions.

研究の動機と目的

• 複雑な幾何形状を対象として、連続ガラーキン有限要素（FE）法と有限差分（FD）法をハイブリッドに結合する、安定で、精度が高く、エネルギーを保存する手法を開発すること。
• 連続ガラーキンFE法に起因する非対角型質量行列のため、FE法と高次FDスキームを結合する課題を克服すること。
• 既存のスクリプトへの大幅な変更や質量行列のlumpingを必要とせず、厳密な安定性と保存性を維持すること。
• 既存のFDおよびFE実装への最小限の変更で、非適合マルチブロックカップリングを可能にすること。
• SBP-SATフレームワークをFE-FDカップリングに拡張し、非線形スカラー保存則を含むこと。

提案手法

• SBP-SATフレームワークを用いて、カップリング系における厳密な安定性とエネルギー保存を保証する。
• SBP保存型補間作用素を用いた同時近似項（SAT）による界面連続性の弱い強制を実装する。
• 非対角型ノルム補間作用素を構築し、FE-FDカップリングに用いる。これにより、質量行列のlumpingを回避できる。
• 2つの構築手法を導入：1つは直接行列構造の解法に基づくもので、もう1つは既存の非対角型ノルム補間手法を活用できる対角型ノルム「ブリッジ層」を用いるもの。
• SAT式をFDおよびFE両側に一貫して適用し、カップリング方式やグリッドに依存しない一般化されたFEの定式化を採用する。
• 構造化グリッドでは高次SBP有限差分作用素を、非構造格子または非適合メッシュでは連続ガラーキン有限要素法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適合マルチブロック設定下で、高次有限差分法と連続ガラーキン有限要素法の間で、安定かつ精度の高いカップリングを達成できるか？
• RQ2 FE法の非対角型質量行列を用いる場合、界面連続性を弱く強制する方法として、厳密な安定性とエネルギー保存を維持できるか？
• RQ3 質量行列のlumpingや対角型ノルム近似を必要とせず、SBP-SATフレームワークをFE-FDカップリングに拡張できるか？
• RQ4 FEとFDブロック間の非適合界面で、精度と安定性を維持するために必要な補間作用素は何か？
• RQ5 提案手法は、線形および非線形保存則、特に移流拡散方程式およびバーガース方程式において、どのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案手法は、線形および非線形問題の両方で2次収束を達成し、高次FDスキームにより精度と収束率が向上する。
• 数値結果から、4次FDスキームは、同じ設定下で2次FDスキームに比べてl2誤差を約50％低減することが示された。
• 非適合界面を介しても、線形移流拡散方程式および非線形バーガース方程式の両方において、厳密なエネルギー安定性と保存性が維持された。
• 非対角型FE質量行列を用いても、質量行列のlumpingを行わずとも安定性や精度が損なわれず、手法の頑健性が裏付けられた。
• 直接行列解法とブリッジ層法の2つの補間構築手法は、両方とも安定で精度の高い結果をもたらし、後者では既存の対角型ノルム補間ツールの再利用が可能となった。
• この手法は一般スカラー保存則に適用可能であり、非線形系、曲線座標系、高次有限要素へも拡張可能である。