[論文レビュー] Energy transfer and position measurement in quantum mechanics

J. C. Ye, Sen Kuang+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Quantum Mechanics and Applications被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、量子位置測定におけるデルタ関数の近似に長方形波関数を用いることが物理的に不適切であると主張している。なぜなら、これにより測定中に無限大のエネルギー移動が生じるからである。代わりに、鋭いピークを持つ連続的で可積分な関数を、より適切な物理的近似として提案している。測定における最小の撹乱とエネルギー制約を考慮すると、単一スリット位置測定においては、スリットポテンシャルの基底状態のみが意味的に寄与することを示している。

ABSTRACT

The Dirac delta function can be defined by the limitation of the rectangular function covering a unit area with decrease of the width of the rectangle to zero, and in quantum mechanics the eigenvectors of the position operator take the form of the delta function. When discussing the position measurement in quantum mechanics, one is prompted by the mathematical convention that uses the rectangular wave function of sufficiently narrow width to approximate the delta function in order to making the state of the position physical. We argue that such an approximation is improper in physics, because during the position measurement the energy transfer to the particle might be infinitely large. The continuous and square-integrable functions of both sharp peak and sufficiently narrow width can then be better approximations of the delta function to represent the physical states of position. When the slit experiment is taken as an apparatus of position measurement, no matter what potential is used to model the slit, only the ground state of the slit-dependent wave function matters.

研究の動機と目的

• 量子位置測定におけるデルタ関数の近似に長方形波関数を用いることの物理的不整合を特定すること。
• このような近似が測定中に物理的に不適切な無限大のエネルギー移動を引き起こし、エネルギー保存則に反することを示すこと。
• 連続的で可積分な関数であり、鋭いピークを持つ関数を、物理的状態としての位置状態の優れた近似として提案すること。
• 単一スリット実験が位置測定装置として用いられる場合、最小の撹乱を満たすために、スリットポテンシャルの基底状態のみが意味的に寄与することを明確にすること。
• 測定装置の分解能が、近似関数の形状そのものではなく、その鋭さに依存することを確立すること。

提案手法

• 幅εを小さくする長方形関数の極限を用いてデルタ関数を近似し、そのエネルギーおよび運動量の不確実性に与える影響を分析すること。
• 長方形関数で近似された状態におけるエネルギーの期待値を計算し、ε → 0 のとき発散することを示すこと。
• ハイゼンベルクの不確定性関係を適用して、幅aのスリットに対してδpx ≈ h/a となる運動量の不確実性を導出すること。
• 単一スリット回折の設定を位置測定装置として分析し、基底状態波関数が撹乱を最小限に抑える役割を強調すること。
• 測定中のエネルギー移動ΔE ≈ ħ²/(4mε²) を導出し、ε → 0 のとき発散することを示すこと。
• デルタ関数をエネルギー固有状態に展開することで、全確率およびエネルギー期待値が非正規化性のため発散することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ位置測定におけるデルタ関数の近似に長方形関数を用いることが物理的に不整合を生じるのか？
• RQ2 このような近似を用いることで、測定中のエネルギー移動にどのような物理的結果が生じるのか？
• RQ3 不確定性関係は、位置測定における分解能と撹乱にどのように制限を課えるのか？
• RQ4 なぜ単一スリット位置測定においては、スリットポテンシャルの基底状態のみが関連するのか？
• RQ5 どの種類の関数が、位置状態におけるデルタ関数のより良い物理的近似を提供するのか？

主な発見

• 長方形関数χε(x−x₀) を用いたデルタ関数の近似は、エネルギーの期待値が無限大になるため、物理的に不適切である。
• このような近似による位置測定におけるエネルギー移動ΔE ≈ ħ²/(4mε²) は、ε → 0 のとき発散し、無限大に達する。
• 単一スリット実験における運動量不確実性δpx ≈ h/a は、エネルギー発散と整合的であり、測定精度に根本的な限界を示している。
• スリットポテンシャルのx依存波関数における基底状態のみが、位置測定に意味的に寄与する。高エネルギー状態は不確実性を増大させ、測定の最小撹乱要件を破る。
• 鋭いピークを持つ連続的で可積分な関数は、長方形関数よりもエネルギー移動が無限大にならないため、デルタ関数のより良い物理的近似である。
• 測定装置の分解能は、近似関数の具体的な関数形ではなく、その鋭さに依存する。