[論文レビュー] Enforcing strong stability of explicit Runge--Kutta methods with superviscosity

Zheng Sun, Chi‐Wang Shu|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2019

Numerical methods for differential equations参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、線形および非線形問題における明示的ルンゲ＝クッタ（RK）法の強い安定性を保証するための2つのスーパーレオロジック（superviscosity）に基づく手法——修正法とフィルタリング法——を提案する。高次元の拡散的または分散的スーパーレオロジック項を追加することにより、精度を損なわずにエネルギーの減衰を維持する。線形問題における強い安定性を保証するためのスーパーレオロジック強度の鋭い境界が導出され、線形および非線形ケース（保存則のDG離散化を含む）において数値的に検証されている。

ABSTRACT

A time discretization method is called strongly stable, if the norm of its numerical solution is nonincreasing. It is known that, even for linear semi-negative problems, many explicit Runge--Kutta (RK) methods fail to preserve this property. In this paper, we enforce strong stability by modifying the method with superviscosity, which is a numerical technique commonly used in spectral methods. We propose two approaches, the modified method and the filtering method for stabilization. The modified method is achieved by modifying the semi-negative operator with a high order superviscosity term; the filtering method is to post-process the solution by solving a diffusive or dispersive problem with small superviscosity. For linear problems, most explicit RK methods can be stabilized with either approach without accuracy degeneration. Furthermore, we prove a sharp bound (up to an equal sign) on diffusive superviscosity for ensuring strong stability. The bound we derived for general dispersive-diffusive superviscosity is also verified to be sharp numerically. For nonlinear problems, a filtering method is investigated for stabilization. Numerical examples with linear non-normal ordinary differential equation systems and for discontinuous Galerkin approximation of conservation laws are performed to validate our analysis and to test the performance.

研究の動機と目的

• 非正規または非強制的設定における明示的RK法の強い安定性の欠如に対処すること。
• 元の精度の順序を維持しつつ、単調なエネルギー減衰を強制する安定化技術を開発すること。
• 線形問題における強い安定性を保証するためのスーパーレオロジック強度の鋭い理論的境界を提供すること。
• 局所解の挙動に基づく適応的スーパーレオロジックを用いたフィルタリング戦略を用いて、非線形問題へのアプローチを拡張すること。
• 線形ODEおよび保存則のDGスキームに対する数値的検証を通じて、手法の有効性を検証すること。

提案手法

• ODE系における半負の作用素に高次元のスーパーレオロジック項を追加する修正法を導入する。
• 小さなスーパーレオロジックを伴う拡散的または分散的問題を用いて、解を後処理するフィルタリング法を提案する。
• スーパーレオロジックによって生じる誤差を制限するために、安定化済み解と元の解との間のエネルギー推定を導出する。
• 線形問題における強い安定性を保証するための拡散的スーパーレオロジックの鋭い理論的境界を確立し、数値的に最適であることが証明された。
• 局所解の挙動に基づく適応的スーパーレオロジックを用いて、非線形問題にフィルタリング法を適用する。
• 双曲的保存則の数値的性能を評価するために、エントロピー保存的フラックスを用いた非連続ガレルキン空間離散化を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ODE系に対して、精度を損なわず強い安定性を強制するため、スーパーレオロジックを明示的RK法に適用可能か？
• RQ2 線形問題における強い安定性を保証するために必要な最小のスーパーレオロジック量は何か？ そしてこの境界は鋭いか？
• RQ3 エネルギー減衰が保証されない非線形問題において、スーパーレオロジック安定化をどのように拡張できるか？
• RQ4 フィルタリング法は、非線形保存則において精度を維持し、不適切な振動を抑えることができるか？
• RQ5 スーパーレオロジックパラメータの選択が、長時間シミュレーションにおけるエネルギーの変化および解の品質にどのように影響するか？

主な発見

• 拡散的スーパーレオロジックの鋭い境界が導出され、これは線形問題における強い安定性を保証するのに必要なだけでなく十分であることが示され、数値的に最適であることが確認された。
• 修正法およびフィルタリング法は、線形問題において元の精度の順序を維持しており、収束率は元のRKスキームと一致する（例：$p=2$ では2次、$p=5$ では5次）。
• $P^2$-DGおよび2次RKを用いたバーガース方程式では、$L^2$誤差の収束率は2.01に達し、$P^4$-DGと5次Fehlberg法を用いた場合には、$L^ atural$ノルムにおける収束率も2.01であった。
• 数値結果から、元の手法では解のノルムが増大するのに対し、フィルタリング法ではエネルギー減衰が維持され、ノルムが時間とともに減少することが示された。
• 適応的フィルタリングによるスーパーレオロジックは、シャックキャプチャにおいて振動を抑えるが、スーパーレオロジックが強すぎる場合には解を過剰に平滑化する可能性がある。
• フィルタリング法は、標準のRK法が強い安定性を維持できない非線形問題（例：バーガース方程式）を効果的に安定化させた。エントロピー保存的フラックスを用いても、標準法では安定性を失うが、本手法では安定性が保たれた。