[論文レビュー] Engineering Multilevel Graph Partitioning Algorithms

Peter Sanders, Christian Schulz|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大フロー最小カットに基づくローカル最適化と、マルチグリッド・ソルバーにインspiredされたグローバル探索戦略を組み合わせた、マルチレベルグラフ分割アルゴリズムKaFFPaを提案する。Walshawのアーカイブにおける295のベンチマークインスタンスのうち317件で最高記録を更新し、118件では既存の最良結果を再現した。また、kMetis や DiBaP よりも高速である。

ABSTRACT

We present a multi-level graph partitioning algorithm using novel local improvement algorithms and global search strategies transferred from the multi-grid community. Local improvement algorithms are based max-flow min-cut computations and more localized FM searches. By combining these techniques, we obtain an algorithm that is fast on the one hand and on the other hand is able to improve the best known partitioning results for many inputs. For example, in Walshaw's well known benchmark tables we achieve 317 improvements for the tables 1%, 3% and 5% imbalance. Moreover, in 118 additional cases we have been able to reproduce the best cut in this benchmark.

研究の動機と目的

• 既存のヒューリスティック手法を改善する、高品質で高速なマルチレベルグラフ分割アルゴリズムの開発。
• 特にグローバル探索戦略を含むマルチグリッド線形ソルバーからの技術が、グラフ分割にどのように寄与するかの調査。
• 最大フロー最小カットに基づく新規なローカル最適化アルゴリズムと局所化されたFM探索を設計し、分割品質の向上を図る。
• 標準ベンチマーク上での提案アルゴリズムの性能評価（カットサイズと実行時間に注目）。
• 大規模グラフにおいて、優れた解の品質と高い逐次実行速度の両立を達成すること。

提案手法

• マルチレベルアプローチを採用：エッジマッチングによるグラフの粗視化、粗視化されたレベルでの初期分割、およびローカルリファインメントを伴うアンコarsening。
• 高品質なブロック境界を特定するために、最大フロー最小カット計算を用いたローカル最適化を実施。
• 効率的な分割の微調整のため、FM（Fiduccia-Mattheyses）アルゴリズムのより局所化された変種を採用。
• マルチグリッドソルバーから抽出したグローバル探索戦略を応用し、解空間の探索をより効果的に行う。
• C++で実装されたKaFFPa（Karlsruhe Fast Flow Partitioner）として実装され、品質または速度の両モードを設定可能に設計。
• 実世界および合成グラフを用いた広範な実験を通じて、大規模なシーケンスを含むアルゴリズムのチューニングを実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来のFM手法と比較して、最大フロー最小カットに基づくローカルサーチは、グラフ分割品質を著しく向上させ得るか？
• RQ2 マルチグリッドにインspiredされたグローバル探索戦略は、分割の解空間探索をどのように向上させるか？
• RQ3 単純ながらも効果的なローカル最適化技術は、マルチレベル分割における複雑なヒューリスティクスをどれほど上回り得るか？
• RQ4 グラフサイズおよびブロック数の増加に伴い、提案アルゴリズムの性能はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 多様なベンチマークインスタンスにおいて、本アルゴリズムは高品質な解と高速な実行時間を両立できるか？

主な発見

• Walshawのベンチマークテーブルにおける1%、3%、5%の不均衡許容範囲において、それぞれ99件、108件、110件の改善を達成し、合計317件で最高記録を更新した。
• 残りの295件中118件において、KaFFPaは最良のカットサイズを再現し、高い一貫性を示した。
• 最大のグラフ（例：ヨーロッパの道路網）において、k=64の場合、KaFFPa FastはカットサイズでkMetisの3倍まで改善し、実行時間でも70%の高速化を達成した。
• ランダムジオメトリックグラフでは、最大インスタンスにおいて、KaFFPa FastはkMetisと比較して実行時間を最大24%短縮し、カットサイズも6.5%改善した。
• 最大のサイズでrGGグラフに対して、最も強力な設定（KaFFPa Strong）は、kMetisに比べて最大47%のカット品質の向上を達成した。
• 78,000ノード以上の大きなグラフにおいて、92%のケースでKaFFPaは同等またはより低いカットサイズを達成し、k=4のadd32において最大10%の絶対的改善を記録した。