[論文レビュー] Enhanced Binding in Quantum Field Theory

Fumio Hiroshima, Itaru Sasaki+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ボゴリューボフ変換と経路測度技法を用いて、量子場理論における結合の強化を調査する。特定の条件下で、パウリ＝ファイアーモデルには基底状態の存在を確立し、質量の減少が十分に速い場合、N体ネルソンモデルには基底状態が存在しないことを証明し、スペクトル解析とバーマン＝シュヴァイツァー原理を用いて、脱結合から結合への遷移を示している。

ABSTRACT

This lecture note consists of three parts. Fundamental facts on Boson Fock space are introduced in Part I. Ref. 1.and 3. are reviewed in Part II and, Ref. 2. and 4. in Part III. In Part I a symplectic structure of a Boson Fock space is studied and a projective unitary representation of an infinite dimensional symplectic group through Bogoliubov transformations is constructed. In Part II the so-called Pauli-Fierz model (PF model) with the dipole approximation in non-relativistic quantum electrodynamics is investigated. This model describes a minimal interaction between a massless quantized radiation field and a quantum mechanical particle (electron) governed by Schrödinger operator. By applying the Bogoliubov transformation introduced in Part I we investigate the spectrum of the PF model. First the translation invariant case is considered and the dressed electron state with a fixed momentum is studied. Secondly the absence of ground state is proven by extending the Birman-Schwinger principle. Finally the enhanced binding of a ground state is discussed and the transition from unbinding to binding is shown. In Part III the so-called $N$-body Nelson model is studied. This model describes a linear interaction between a scalar field and $N$-body quantum mechanical particles. First the enhanced binding is shown by checking the so-called stability condition. Secondly the Nelson model with variable coefficients is discussed, which model can be derived when the Minkowskian space-time is replaced by a static Riemannian manifold, and the absence of ground state is proven, if the variable mass decays to zero sufficiently fast. The strategy is based on a path measure argument.

研究の動機と目的

• 非相対称的量子電磁力学におけるパウリ＝ファイアーモデルのスペクトル的性質を、シンプレクティック構造とボゴリューボフ変換を用いて分析すること。
• 特に並進不変の場合に、パウリ＝ファイアーモデルにおける結合の強化が発生する条件を確立すること。
• 変数係数を有するN体ネルソンモデルにおける基底状態の非存在を調査すること、特に質量の急激な減少がその条件である場合。
• 非相対称的QEDモデルへのバーマン＝シュヴァイツァー原理の拡張を行い、結合閾値を分析すること。
• 線形結合を有する場の理論における、脱結合から結合への遷移が安定性条件と経路測度的議論によってどのように実現されるかを示すこと。

提案手法

• ボゴリューボフ変換を用いて、ボソンフォック空間上での無限次元シンプレクティック群の射影的ユニタリ表現を構成すること。
• 非相対称的QEDにおける電子-放射場相互作用を研究するため、双極子近似を用いたパウリ＝ファイアーモデルを適用すること。
• 並進不変パウリ＝ファイアーモデルにおける基底状態の非存在を、バーマン＝シュヴァイツァー原理の拡張版を用いて証明すること。
• 線形スカラー場結合を有するN体ネルソンモデルを分析し、ハミルトニアンの安定性条件を満たす場合の結合の強化を検討すること。
• 変数質量が十分に速くゼロに減少する場合、経路測度的議論を用いて基底状態の非存在を証明すること。
• 静的リーマン空間時空から変数係数を有するネルソンモデルを導出することにより、質量依存の結合挙動の解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非相対称的量子電磁力学におけるパウリ＝ファイアーモデルで、結合の強化がどのような条件下で出現するか。
• RQ2 パウリ＝ファイアーモデルにおける基底状態の非存在は、スペクトル的性質と運動量空間の構造にどのように依存するか。
• RQ3 変数質量の減少率が、N体ネルソンモデルにおける基底状態の存在に与える影響は何か。
• RQ4 バーマン＝シュヴァイツァー原理を非相対称的QEDモデルに拡張し、結合閾値を分析することができるか。
• RQ5 線形結合を有する場の理論において、脱結合から結合への遷移がどのように実現されるかのメカニズムは何か。

主な発見

• 双極子近似を用いたパウリ＝ファイアーモデルは、固定運動量下での被覆電子状態のスペクトル解析により、結合の強化を示している。
• 並進不変パウリ＝ファイアーモデルにおける基底状態の非存在は、バーマン＝シュヴァイツァー原理の拡張版を用いて厳密に証明された。
• N体ネルソンモデルでは、系のハミルトニアンの安定性条件を満たすことで、結合の強化が確立された。
• 変数係数を有するネルソンモデルでは、質量が十分に速くゼロに減少する場合、経路測度的議論により基底状態の非存在が示された。
• N体モデルにおいて、脱結合から結合への遷移が解析的に示されたことから、質量減少率における臨界閾値が存在することが示唆された。
• 本論文は、ボソンフォック空間上でのボゴリューボフ変換を用いて、無限次元シンプレクティック群の射影的ユニタリ表現を構成し、その後続のスペクトル解析のための基盤的ツールを提供した。