[論文レビュー] Enhanced Covers of Regular & Indeterminate Strings using Prefix Tables

Ali Alatabbi, Abir Islam+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Algorithms and Data Compression参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、文字列の最小拡張カバー（MEC）配列を計算するための新しい前綴表ベースのアルゴリズムを提案する。この手法は、従来の境界配列ベースの方法と比較して、最適なO(n)期待時間計算量と顕著に向上した空間効率を達成する。本手法は、通常の文字列だけでなく、曖昧なヌクレオチドを含むDNA配列などの不定文字列に対しても、非推移的マッチング関係においても頑健な前缀表の特性を活用することで、効率的な拡張カバーの計算を可能にする。

ABSTRACT

A \itbf{cover} of a string $x = x[1..n]$ is a proper substring $u$ of $x$ such that $x$ can be constructed from possibly overlapping instances of $u$. A recent paper \cite{FIKPPST13} relaxes this definition --- an \itbf{enhanced cover} $u$ of $x$ is a border of $x$ (that is, a proper prefix that is also a suffix) that covers a {\it maximum} number of positions in $x$ (not necessarily all) --- and proposes efficient algorithms for the computation of enhanced covers. These algorithms depend on the prior computation of the \itbf{border array} $\beta[1..n]$, where $\beta[i]$ is the length of the longest border of $x[1..i]$, $1 \le i \le n$. In this paper, we first show how to compute enhanced covers using instead the \itbf{prefix table}: an array $\pi[1..n]$ such that $\pi[i]$ is the length of the longest substring of $x$ beginning at position $i$ that matches a prefix of $x$. Unlike the border array, the prefix table is robust: its properties hold also for \itbf{indeterminate strings} --- that is, strings defined on {\it subsets} of the alphabet $\Sigma$ rather than individual elements of $\Sigma$. Thus, our algorithms, in addition to being faster in practice and more space-efficient than those of \cite{FIKPPST13}, allow us to easily extend the computation of enhanced covers to indeterminate strings. Both for regular and indeterminate strings, our algorithms execute in expected linear time. Along the way we establish an important theoretical result: that the expected maximum length of any border of any prefix of a regular string $x$ is approximately 1.64 for binary alphabets, less for larger ones.

研究の動機と目的

• 文字列の最小拡張カバー（MEC）配列を計算するより効率的で、空間を節約するアルゴリズムの開発を目的とする。
• 従来の境界配列が非推移的マッチングのため失敗するため、不定文字列における拡張カバーの計算を拡張することを目的とする。
• 特に、DNA配列解析などのバイオインフォマティクスの文脈において、不定文字列の処理において、境界配列よりも前缀表がより頑健であることを示すこと。
• ランダムな文字列における境界長の期待最大値について理論的境界を確立し、二進アルファベットではそれが約1.64に収束することを示すこと。

提案手法

• 前缀表π[i] = 位置iから始まる、文字列xの先頭部分に一致する最長の部分文字列の長さを定義する。
• 従来の研究で用いられる境界配列βの代わりに、不定文字列における非推移的マッチングに対しても頑健な前缀表πを採用する。
• 長さqのprefixでカバーのないものを特定するための最大noカバー配列MNC[q]を導入し、カバー配列γを用いて計算する。
• O(n)時間でπ[2..n]の最大値B = max(π[2..n])を計算する前処理ステップを実施する。
• MNCと前缀表の性質を用いた修正されたカバー検出手順を適用し、MECおよびCMEC配列を効率的に計算する。
• 部分語（partial words）の前処理済み前缀表を用いて、根付きカバーモデルを組み合わせることで、不定文字列へのアルゴリズムの拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界配列を前缀表に置き換えることで、拡張カバーの計算がより効率的かつ空間効率的になるか？
• RQ2 非推移的マッチングを伴う不定文字列の文脈において、前缀表は正しく、有用に機能するか？
• RQ3 ランダムな文字列における境界長の期待最大値は何か？また、アルファベットサイズに応じてどのように変化するか？
• RQ4 前缀表を用いることで、正規および不定文字列の両方において、MEC配列を線形期待時間で計算できるか？
• RQ5 実際の性能において、前缀表ベースのアルゴリズムは境界配列ベースのアルゴリズムと比較してどのように差がつくか？

主な発見

• 提案された前缀表ベースのアルゴリズムは、O(n)の期待時間とΘ(log n)の追加空間でMECおよびCMEC配列を計算でき、従来の方法のO(n log n)最悪計算時間と比べ顕著に改善されている。
• ランダムな二進アルファベット文字列における期待最大境界長は、n → ∞のとき約1.64に収束し、アルファベットが大きいほど値は低くなる。
• 前缀表は非推移的マッチングに対して頑健であり、境界配列が失敗する不定文字列においても、正しく拡張カバーを計算可能である。
• 不定文字列では、境界数の期待値が定数（約29）で有界であるため、拡張カバー計算の期待時間計算量がO(n)で保証される。
• 実験的評価では、前缀表ベースのアルゴリズム（ECP）が、境界配列ベースのアルゴリズム（ECB）を上回り、全長2〜30の二進文字列において線形の挙動を示す。
• 前缀表の圧縮されたPOS/LEN表現を用いることで、実際の空間使用量をさらに削減できる可能性がある。