[論文レビュー] Enlargeability, foliations, and positive scalar curvature

Moulay-Tahar Benameur, James L. Heitsch|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正のスカラー曲率（PSC）計量に関する古典的結果を拡張し、ハウスドルフ性をもつホモトピー群コアリスムをもつスピンフォリエーションが、拡大可能多様体上に存在し得ないことを証明している。PSC計量に対する境界をフォリエーションK-面積を用いて定め、コンネスの消滅定理をハエフリッガーコホモロジー類へ一般化し、フォリエーション的状況における幾何的および位相的障害を統一的に扱う。

ABSTRACT

We extend the deep and important results of Lichnerowicz, Connes, and Gromov-Lawson which relate geometry and characteristic numbers to the existence and non-existence of metrics of positive scalar curvature (PSC). In particular, we show: that a spin foliation with Hausdorff homotopy groupoid of an enlargeable manifold admits no PSC metric; that any metric of PSC on such a foliation is bounded by a multiple of the reciprocal of the foliation K-area of the ambient manifold; and that Connes' vanishing theorem for characteristic numbers of PSC foliations extends to a vanishing theorem for Haefliger cohomology classes.

研究の動機と目的

• 拡大可能スピン多様体におけるPSC計量の非存在性を、ハウスドルフ性をもつホモトピー群コアリスムをもつスピンフォリエーションへ一般化すること。
• アンビエント多様体のフォリエーションK-面積を用いて、そのようなフォリエーションのスカラー曲率に対する定量的境界を確立すること。
• 特徴的数のためのコンネスの消滅定理を、PSCフォリエーションの文脈におけるハエフリッガーコホモロジー類へ拡張すること。
• 非スピンで拡大可能でありながら、PSC計量を妨げる非自明なフォリエーションを有する多様体の新しい例を提供すること。
• 非自明なホロノミー群コアリスムをもつフォリエーション的多様体におけるインデックス理論的障害と幾何的障害を統合すること。

提案手法

• ヘイツヒュ-ロウソンおよびヒルズムの研究に基づき、ハウスドルフ性をもつホモトピー群コアリスムをもつフォリエーションのインデックス理論を用いる。
• ユニバーサル被覆への$\epsilon$-収縮写像を用いた拡大可能性の概念を導入し、グロモフ＝ローソンの手法をフォリエーション的状況へ拡張する。
• PSC計量に対する幾何的障害としてフォリエーションK-面積不変量を導入し、スカラー曲率の上界を定める。
• コンネスの循環コホモロジーとホロノミー不変バンドルを用いて、ハエフリッガーコホモロジーにおける特徴的類を定義する。
• フォリエーションのアティヤ＝シンガーインデックス定理とリッヒネロヴィッチの公式を用い、曲率とスペクトル不変量の関係を関係づける。
• 対称空間上の群作用と軌道フォリエーションを用いた具体的な例の構成により、ハウスドルフ性と拡大可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡大可能スピン多様体におけるPSC計量の非存在性は、ハウスドルフ性をもつホモトピー群コアリスムをもつスピンフォリエーションへ拡張可能か？
• RQ2 PSCフォリエーションのスカラー曲率を制御する幾何的不変量は何か？
• RQ3 コンネスの特徴的数のための消滅定理は、PSCフォリエーションにおけるハエフリッガーコホモロジー類へ拡張可能か？
• RQ4 非スピンで拡大可能であり、かつ$̂{A}(M) = 0$を満たす多様体が、フォリエーション的インデックス理論によりPSCフォリエーションを妨げる例は存在するか？
• RQ5 非自明な2次特徴的類をもつフォリエーションを、拡大可能多様体上に、ホモトピー群コアリスムのハウスドルフ性を保ちながら構成可能か？

主な発見

• ハウスドルフ性をもつホモトピー群コアリスムをもつスピンフォリエーションをもつ拡大可能多様体は、正のスカラー曲率計量をもつことはできない。
• このようなフォリエーションにおける任意のPSC計量は、アンビエント多様体のフォリエーションK-面積の逆数の定数倍によって上から抑えられる。
• コンネスの特徴的数のための消滅定理はハエフリッガーコホモロジー類へ拡張される：スピンフォリエーションがPSC計量をもてば、すべてのこのような類は消える。
• フォリエーションK-面積は、フォリエーション的状況におけるPSC計量の存在を妨げる新しい幾何的不変量を提供する。
• 非スピンで拡大可能であり、$̂{A}(M) = 0$を満たす多様体に、ハウスドルフ性をもつホモトピー群コアリスムをもつスピンフォリエーションが存在するが、それでもPSC計量は存在しない。
• $H^{4k-1}(M;\u0004bb{R})$における2次特徴的類は非ゼロで線形独立となり得るため、$̂{A}$- genusを超えるコホモロジー的障害の豊かさが示された。