[論文レビュー] Enriched algebraic theories and monads for a system of arities

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、対称モノイダル閉圏 $\mathscr{V}$ 内の arity の体系 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ を用いて、豊かにされた代数的理論の一般枠組みを構築する。$\mathscr{J}$-理論の概念を導入し、$\mathscr{J}$ がエレウテリック（すなわち、ある種の Kan 拡張に関して $\mathscr{V}$ が自由な cocompletion として提示される）場合、$\mathscr{T}$-代数の圏が存在し、$\mathscr{V}$ 上でモナディックであることを証明する。これは、完全性や cocompleteness の仮定がなくても成り立つ。主な貢献は、$\mathscr{J}$-理論が、プロファンクターの 2-圏上のモノイドと、コロケーション条件を満たす $\mathscr{V}$-モノイドととして特徴づけられることである。

ABSTRACT

Under a minimum of assumptions, we develop in generality the basic theory of universal algebra in a symmetric monoidal closed category $\mathcal{V}$ with respect to a specified system of arities $j:\mathcal{J} \hookrightarrow \mathcal{V}$. Lawvere's notion of algebraic theory generalizes to this context, resulting in the notion of single-sorted $\mathcal{V}$-enriched $\mathcal{J}$-cotensor theory, or $\mathcal{J}$-theory for short. For suitable choices of $\mathcal{V}$ and $\mathcal{J}$, such $\mathcal{J}$-theories include the enriched algebraic theories of Borceux and Day, the enriched Lawvere theories of Power, the equational theories of Linton's 1965 work, and the $\mathcal{V}$-theories of Dubuc, which are recovered by taking $\mathcal{J} = \mathcal{V}$ and correspond to arbitrary $\mathcal{V}$-monads on $\mathcal{V}$. We identify a modest condition on $j$ that entails that the $\mathcal{V}$-category of $\mathcal{T}$-algebras exists and is monadic over $\mathcal{V}$ for every $\mathcal{J}$-theory $\mathcal{T}$, even when $\mathcal{T}$ is not small and $\mathcal{V}$ is neither complete nor cocomplete. We show that $j$ satisfies this condition if and only if $j$ presents $\mathcal{V}$ as a free cocompletion of $\mathcal{J}$ with respect to the weights for left Kan extensions along $j$, and so we call such systems of arities eleutheric. We show that $\mathcal{J}$-theories for an eleutheric system may be equivalently described as (i) monads in a certain one-object bicategory of profunctors on $\mathcal{J}$, and (ii) $\mathcal{V}$-monads on $\mathcal{V}$ satisfying a certain condition. We prove a characterization theorem for the categories of algebras of $\mathcal{J}$-theories, considered as $\mathcal{V}$-categories $\mathcal{A}$ equipped with a specified $\mathcal{V}$-functor $\mathcal{A} ightarrow \mathcal{V}$.

研究の動機と目的

• 対称モノイダル閉圏 $\mathscr{V}$ 内で、$\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ という arity の体系を用いて、Lawvere の代数的理論を豊かにした設定に一般化すること。
• $\mathscr{V}$ が完全性や cocompleteness を持たない場合でも、$\mathscr{T}$-代数の圏が存在し、$\mathscr{V}$ 上でモナディックであるような条件を同定すること。
• $\mathscr{V}$ が $\mathscr{J}$ における左 Kan 拡張の重みに関して自由な $\Phi^+$-cocompletion として提示される場合に、$\mathscr{J}$-理論の体系がエレウテリックであると定義し、その性質を明らかにすること。
• $\mathscr{J}$-理論が、$\mathscr{J}$ 上のプロファンクターの 2-圏におけるモノイドと同値であり、$\mathscr{V}$-モノイドが $\Phi^+$-コロケーションを保存する条件を満たすことを示すこと。
• $\mathscr{T}$-代数の $\mathscr{V}$-圏を、$\mathscr{V}$ への指定された $\mathscr{V}$-関手を備えたものとして特徴づけること。

提案手法

• 単一の対象 $S$ の $J$-コタンジェントを持つ $\mathscr{V}$-圏として、$\mathscr{J}$-理論の概念を導入し、Lawvere や豊かにされた Lawvere 理論を一般化する。
• $\mathscr{T}$-代数を、$J \in \mathscr{J}$ に対して $J$-コタンジェントを保存する $\mathscr{V}$-関手として定義し、代数的理論上の代数の概念を一般化する。
• $j: \mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ に対して「エレウテリック」と呼ばれる条件を同定する。これは、$\mathscr{V}$ が $j$ 沿って左 Kan 拡張の重みに関して $\mathscr{J}$ の自由な $\Phi^+$-cocompletion である場合に成立する。この条件により、$\mathscr{T}$-代数の存在とモナディック性が保証される。
• $\mathscr{J}$-理論が、$\mathscr{J}$ 上の $\mathscr{V}$-プロファンクターの 1対象の 2-圏におけるモノイドと同値であることを、2-圏的対応を用いて確立する。
• $\mathscr{J}$-理論が、$\Phi^+$-コロケーションを保存する $\mathscr{V}$-モノイドと同値であることを証明し、それらをモノイド的定式化と結びつける。
• $\Phi$-表示可能な対象と $\Phi^+$-コロケーションの理論を用いて、$\mathscr{V}_{\Phi}$ が $\Phi^{+-}$-コロケーション、$\Phi$-コロケーション、および再帰的補完に対して閉じていることを示し、エレウテリック条件の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ という arity の体系に対して、$\mathscr{V}$ が完全性や cocompleteness を持たない場合でも、$\mathscr{T}$-代数の圏が存在し、$\mathscr{V}$ 上でモナディックであるための条件は何か？
• RQ2 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ という arity の体系がエレウテリックであるとは、$\mathscr{V}$ が $j$ 沿って左 Kan 拡張の重みに関して $\mathscr{J}$ の自由な $\Phi^+$-cocompletion である場合を指すが、その条件は何か？
• RQ3 $\mathscr{J}$-理論が、$\mathscr{J}$ 上のプロファンクターの 2-圏におけるモノイドとして同値に記述できるか？
• RQ4 $\mathscr{J}$-理論と $\Phi^+$-コロケーションを保存する $\mathscr{V}$-モノイドとの間の明確な関係は何か？
• RQ5 $\mathscr{T}$-代数の圏を、$\mathscr{V}$ への指定された $\mathscr{V}$-関手を備えた $\mathscr{V}$-圏としてどのように特徴づけられるか？

主な発見

• $\mathscr{T}$-代数の圏が存在し、$\mathscr{V}$ 上でモナディックであるための必要十分条件は、$j: \mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ がエレウテリックであることである。
• $j$ がエレウテリックであるための必要十分条件は、$\mathscr{V}$ が $j$ 沿って左 Kan 拡張の重みに関して $\mathscr{J}$ の自由な $\Phi^+$-cocompletion であることである。ここで $\Phi^+$ は $\Phi$-平坦な重みの族である。
• すべての $\mathscr{J}$-理論は、$\mathscr{J}$ 上の $\mathscr{V}$-プロファンクターの 2-圏におけるモノイドと同値であり、2-圏的同値性が確立される。
• すべての $\mathscr{J}$-理論は、$\mathscr{V}$ 上の $\mathscr{V}$-モノイドとも同値であり、$\Phi^+$-コロケーションを保存するという条件を満たす。これにより、モナディックな特徴づけが得られる。
• $\mathscr{T}$-代数の $\mathscr{V}$-圏は、ある普遍性を満たす $\mathscr{V}$-関手 $\mathscr{A} \to \mathscr{V}$ を備えた $\mathscr{V}$-圏 $\mathscr{A}$ の完全部分 $\mathscr{V}$-圏と同値である。
• $\underline{\mathscr{V}}$ 内の $\Phi$-表示可能な対象の完全部分 $\mathscr{V}$-圏 $\mathscr{V}_{\Phi}$ は、$\Phi^{+-}$-コロケーション、$\Phi$-コロケーション、および再帰的補完に対して閉じており、これはエレウテリック条件の検証に不可欠である。