[論文レビュー] Enriched model categories and an application to additive endomorphism spectra

Daniel Dugger, Brooke Shipley|ArXiv.org|Feb 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 20

ひとこと要約

本稿は加法的モデル圏の概念を導入し、単体的アーベル群 ($Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$) 上の対称スペクトルを用いた、安定的で結合的かつ加法的なモデル圏の標準的豊密化を確立する。任意の対象 $X$ に対して、加法的クィルン同値関手に関して不変であるホモトピー自己準同型スペクトル $ \operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ を構成し、加法的モデル圏間のクィルン同値性においてこの豊密化が保存されることを証明する。

ABSTRACT

We define the notion of an additive model category, and we prove that any additive, stable, combinatorial model category has a natural enrichment over symmetric spectra based on simplicial abelian groups. As a consequence, every object in such a model category has a naturally associated endomorphism ring inside this spectra category. We establish the basic properties of this enrichment. We also develop some enriched model category theory. In particular, we have a notion of an adjoint pair of functors being a 'module' over another such pair. Such things are called "adjoint modules". We develop the general theory of these, and use them to prove a result about transporting enrichments over one symmetric monoidal model category to a Quillen equivalent one.

研究の動機と目的

• 加法的モデル圏の理論を定義・発展させること。ここで、ホモセットはアーベル群であり、合成は双加法的であり、高次ホモトピーと整合性を持つ。
• 安定的で結合的かつ加法的なモデル圏が $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$、すなわち単体的アーベル群上の対称スペクトルの圏を用いた標準的モデル豊密化を確立すること。
• このようなモデル圏内の任意の対象 $X$ に対して、加法的ホモトピー自己準同型スペクトル $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ を定義・研究すること。
• 加法的クィルン同値関手に関して、$\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ のホモトピー型が不変であることを証明すること。
• 対称モノイド的モデル圏上の随伴モジュールの理論を発展させ、クィルン同値性の間で豊密化を輸送可能にする。

提案手法

• ホモセットがアーベル群であり、合成が双加法的で、モデル構造と整合性を持つ安定的かつ結合的なモデル圏として加法的モデル圏を定義する。
• 豊密化モデル圏の枠組みを用いて、任意の安定的・加法的・結合的モデル圏 $\mathcal{M}$ に対して、$\sigma_{\mathcal{M}} \in ME_0({\mathcal{M}}, Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b))$ という標準的豊密化を構成する。
• $\hat{X}$ を $X$ のクルール・ファイブレント置換として、$\sigma_{\mathcal{M}}(\hat{X},\hat{X})$ から得られる $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 内の環対象として $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ を定義する。
• 随伴モジュールの理論を用いて、$Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上の豊密化とチェーン複体との比較を行い、クィルン同値性の間で豊密化を輸送できることを示す。
• クィルン同値性の技法を適用し、加法的クィルン同値関手に対して $L_*(\sigma_{\mathcal{M}}) = \sigma_{\mathcal{N}}$ および $L^*(\sigma_{\mathcal{N}}) = \sigma_{\mathcal{M}}$ が成り立つことを示す。
• モノイド的クィルン対とモジュール圏に関する結果を活用し、加法的モデル圏間のクィルン同値性において豊密化が保存されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的モデル圏を定義づける条件は何か。また、チェーン複体や微分的可換モジュールといった標準的例とどのように関係しているか。
• RQ2 安定的で結合的かつ加法的なモデル圏を $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上に標準的に豊密化する方法は何か。
• RQ3 加法的自己準同型スペクトル $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ がホモトピー論的にどのような意味を持つのか。また、クィルン同値性においてどのように振る舞うか。
• RQ4 クィルン同値性の間で $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上の豊密化を輸送できるか。また、チェーン複体上の豊密化とはどのように関係するか。
• RQ5 随伴モジュールは、クィルン同値なモデル圏間の豊密化を比較する際に果たす役割は何か。

主な発見

• 任意の安定的・加法的・結合的モデル圏 $\mathcal{M}$ は、$Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上の標準的モデル豊密化 $\sigma_{\mathcal{M}}$ を持つ。
• $\sigma_{\mathcal{M}}(\hat{X},\hat{X})$ から得られる加法的ホモトピー自己準同型スペクトル $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ は、$Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 内の環対象のホモトピー圏における同型を除いて一意に定まる。
• $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ のホモトピー型は、加法的クィルン同値関手に関して不変であり、加法的モデル圏間のクィルン同値性のズイガを経由しても保存される。
• 豊密化 $\sigma_{\mathcal{M}}$ は加法的モデル圏間のクィルン同値性において保存され、$L_*(\sigma_{\mathcal{M}}) = \sigma_{\mathcal{N}}$ および $L^*(\sigma_{\mathcal{N}}) = \sigma_{\mathcal{M}}$ が成り立つ。
• 随伴モジュールの理論により、$Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上の豊密化をチェーン複体 $Ch$ 上の豊密化に輸送でき、これらがクィルン同値であることが示される。
• 本構成は、[DS2] で示されるように、加法的クィルン同値な圏と非加法的クィルン同値な圏を区別するための重要な道具である。