[論文レビュー] Enrichment of Categories of Algebras and Modules

Christina Vasilakopoulou|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、可換環 R 上の代数の圏が普遍測定コールゲブラ P(A,B) を通じて R-コールゲブラの圏に豊かにされていることを確立し、R-加群のグローバル圏が普遍測定コモジュール Q(M,N) を通じて R-コモジュールのグローバル圏に豊かにされていることを示している。主な貢献は、Wraith の観察を厳密な圏論的証明に拡張し、加群とコモジュールに対しても適用することで、両方の豊かさが測定構造に関連する自然同型から生じることを示したことである。

ABSTRACT

We study the universal measuring coalgebras P(A,B) of Sweedler and the universal measuring comodules Q(M,N) of Batchelor. We show that these universal objects exist in a very general context. We provide a detailed proof of an observation of Wraith, that the P(A,B) are the hom-objects of an enrichment of algebras in coalgebras. We show also that the Q(M,N) provide an enrichment of the global category of modules in the global category of comodules.

研究の動機と目的

• Wraith が観察した、普遍測定コールゲブラ P(A,B) がホム対象として機能することを、圏論的証明で詳細に提示し、R-代数の圏が R-コールゲブラの圏に豊かにされていることの証明を行う。
• この豊かさをグローバルな R-加群の圏に拡張し、普遍測定コモジュール Q(M,N) が Mod を Comod に豊かにしていることを示す。
• R が体に限らない一般の可換環である場合を含め、R が可換環である場合に P(A,B) および Q(M,N) が一般の圏的文脈で存在することを確立する。
• ファイブレーションと豊かさの関係を明確にし、Mod → Alg_R および Comod → Coalg_R のファイブレーションとオプファイブレーションがこれらの豊かさと整合することを示す。
• R-コールゲブラ上のコモジュールの圏 Comod がモノイダル閉であること、および随伴函手定理を用いた内部ホムの構成が可能であることを示す。

提案手法

• Sweedler が定義した測定コールゲブラ P(A,B) の普遍性を用い、すべてのコールゲブラ C に対して自然同型 Alg(A, Hom(C,B)) ≅ Coalg(C, P(A,B)) が成り立つことを利用する。
• 豊かにされた圏論およびテンソル付き圏の理論を応用し、特に右閉ビカテゴリ W に対して、テンソル付き W-圏と W-表現の同値性を用いる。
• Grothendieck の構成を用いて、Alg_R および Coalg_R 上のファイブレーションとしてグローバル圏 Mod および Comod を定義する。
• 内部構造とココネクティビティの議論を用い、自然同型 Comod(X, Q(M,N)) ≅ Mod(M, Hom(X,N)) を用いて Q(M,N) の存在を証明する。
• Kelly の随伴函手定理を適用し、Q(M,N) を定義する関手および Comod の内部ホムに登場する関手が右随伴を持つことを示し、ココネクティビティおよび Comod に小さなデュアルな部分圏の存在に依存する。
• R = k が体の場合、有限次元コールゲブラ上の有限次元コモジュールの小さなデュアルな部分圏を構成し、すべてのコモジュールがそのような対象の自然なコロイミットであることを示す。これにより、内部ホムの存在が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍測定コールゲブラ P(A,B) は自然にホム対象として機能し、R-代数の圏が R-コールゲブラの圏に豊かにされていると言えるか？
• RQ2 普遍測定コモジュール Q(M,N) を用いて、R-加群のグローバル圏が R-コモジュールのグローバル圏に豊かにされていると言えるか？
• RQ3 一般のモノイダル圏において、P(A,B) および Q(M,N) の存在を保証する圏論的条件は何か。特に R が可換環である場合に有効な条件は？
• RQ4 ファイブレーション Mod → Alg_R およびオプファイブレーション Comod → Coalg_R は、Mod が Comod に豊かにされていることと、Alg が Coalg に豊かにされていることとどのように関係しているか？
• RQ5 R-コールゲブラ上のコモジュールの圏はモノイダル閉であるか？また、随伴函手定理を用いて内部ホムが構成可能か？

主な発見

• 任意の可換環 R に対して、R-コールゲブラの圏に普遍測定コールゲブラ P(A,B) が存在し、すべての R-コールゲブラ C に対して自然同型 Coalg(C, P(A,B)) ≅ Alg(A, Hom(C,B)) が成り立つ。
• R-代数の圏は、ホム対象として P(A,B) を用いることで、R-コールゲブラの圏に豊かにされている。これは、Wraith の観察が一般に成立することを確認する。
• R-加群のグローバル圏は、自然同型 Comod(X, Q(M,N)) ≅ Mod(M, Hom(X,N)) を用いて、R-コモジュールのグローバル圏に豊かにされている。
• 圏 Comod はモノイダル閉であり、内部ホムは、有限次元コモジュールの小さなデュアルな部分圏の存在に依存する随伴函手定理を用いて構成される。
• R = k が体の場合、有限次元コールゲブラ上の有限次元コモジュールの圏が Comod において小さなデュアルな部分圏をなしており、すべてのコモジュールがそのような対象のコロイミットとして自然に表せることを示す。これにより、内部ホムの存在が直接的に示される。
• 有限次元部分圏のデュアル性の証明は、コールゲブラの基本定理およびコモジュールの基本定理に依存しており、すべてのコールゲブラおよびコモジュールがその有限次元部分対象のコロイミットであることを示している。