[論文レビュー] Enrichments over symmetric Picard categories

Vincent Schmitt|ArXiv.org|Nov 30, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称ピカード圏（SPC）を豊かにした2-環上の2-加群の理論を、多線形写像とテンソル積を用いて発展させる。Aを2-環とするとき、A-加群はSPC上の自己2ファンクターA ⊗ − の代数であることが示され、SPCにおける内部自己関手とモノイドファンクターに関して、整合性と厳密性の結果が確立される。主な技術的道具は、圏的群の整合性理論と対称モノイド構造から得られる。

ABSTRACT

Categorical rings were introduced by Jibladze and Pirashvili in their paper "Third Mac Lane cohomology via categorical rings", Journal of Homotopy and related structures, 2, 2007, 187-216. We call those "2-rings". In these notes we present basic definitions and results regarding 2-modules. This is work in progress.

研究の動機と目的

• 対称ピカード圏（SPC）を豊かにした2-環上の2-加群の基礎的理論を構築すること。
• 多線形写像とテンソル積を用いてSPCへの豊かさを定義・特徴づけ、古典的加群論を高次圏へ一般化すること。
• 2-環AのA-加群の圏が、SPC上の自己2ファンクターA ⊗ − の代数の圏をなすことの証明。
• 特に逆関手と内部自己関手に関して、SPCにおけるファンクターおよび自然変換の整合性と厳密性の性質の確立。
• 対称モノイド圏（SMC）から対称ピカード圏（SPC）への結果の拡張を通じて、高次圏代数の技術的基盤を提供すること。

提案手法

• 豊かにした2圏として対称ピカード圏（SPC）を用い、対象は逆を持つ対称モノイド群小屋である。
• 多線形写像を用いて2-加群を定義し、SPCにおけるテンソル積を構成し、SMCからの構成を一般化する。
• 圏的群の整合性定理（Laplaza, 1983）を適用し、標準的矢印および逆関手の一意性と自然性を保証する。
• SMCにおける内部自己関手[A, B]を用い、Bが対称ピカード圏であるとき、点ごとの構成によりその対称ピカード構造が誘導されることを示し、SPCにおける厳密な矢印であることを証明する。
• SPCにおける厳密な矢印の概念を導入し、モノイドファンクターが逆関手および同型射ja : I → a• ⊗ aを厳密に保存することを定義する。
• 2ファンクターRnとその2セルへの作用を用いて整合性結果を証明し、ζ1 = Rn(Ξ2)、ζ2 = Rn(Ξ3)、Ξ4 = Rn(Ξ1)が成り立つことを示し、[Sch08]の補題に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対称ピカード圏を豊かにした2-環に対して、環から2-環への加群の概念を一般化できるか？
• RQ2 Bが対称ピカード圏であるとき、SMCにおける内部自己関手[A, B]がどのようにして対称ピカード構造を誘導するかの条件は何か？
• RQ3 2-環AのA-加群が、2圏SPC上の自己2ファンクターA ⊗ − の代数である、という意味は何か？
• RQ4 圏的群の整合性結果（例：標準的矢印の一意性）が、対称ピカード圏の設定へどのように拡張されるか？
• RQ5 対称ピカード圏間の矢印における厳密性の役割は何か？また、内部自己関手やモノイド自然変換の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Bが対称ピカード圏であるとき、SMCにおける内部自己関手[A, B]は、Bからの点ごとの構成により対称ピカード構造を誘導する。
• 対称ピカード圏Aにおける逆関手inv : A → Aは、成分inv2,a,b : a• ⊗ b• → (a ⊗ b)•が、合成 a• ⊗ b• → b• ⊗ a• → (a ⊗ b)• で与えられる対称モノイド構造を持つ。
• 任意の対称モノイドファンクターF : A → Bに対して、成分F⁰はF²によって決定され、モノイド自然変換は1つの可換図式条件を満たす。
• 2ファンクター[A, −]は、モノイド変換j : I → inv✷idを、[A, B]にモノイド構造へ写し、選択された群構造を備えた対称ピカード圏へと変換する。
• 2セルζ1はRn(Ξ2)に等しく、ζ2はRn(Ξ3)に等しい。これらは2圏SPCにおける整合性の証明に用いられる。
• 2セルβ′′のRnによる像はΞ7であり、Ξ4のRnによる像はA → I⊗A → A⊗A → [M,M]である。これらは合成の整合性を検証するために用いられる。