[論文レビュー] Entangled games are hard to approximate

Julia Kempe, Hirotada Kobayashi+3 more|ArXiv.org|Apr 23, 2007

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、量子もつれを共有する1ラウンドゲームの値を近似する問題について、初めてNP困難性の結果を確立した。両方の設定において、逆多項式要因の範囲内で近似することがNP困難であることを示している：(i) 2人のもつれプローバーと量子検証者をもつゲーム、および (ii) 3人のもつれプローバーと古典的検証者をもつゲーム。主な技術的アプローチは、もつれの利点を抑制するように古典的ゲームを変形し、エンタングルド戦略を古典的戦略に変換するラウンドアップ手順を用いることで、古典的近似不可能性の境界を活用するものである。

ABSTRACT

We establish the first hardness results for the problem of computing the value of one-round games played by a verifier and a team of provers who can share quantum entanglement. In particular, we show that it is NP-hard to approximate within an inverse polynomial the value of a one-round game with (i) quantum verifier and two entangled provers or (ii) classical verifier and three entangled provers. Previously it was not even known if computing the value exactly is NP-hard. We also describe a mathematical conjecture, which, if true, would imply hardness of approximation to within a constant. We start our proof by describing two ways to modify classical multi-prover games to make them resistant to entangled provers. We then show that a strategy for the modified game that uses entanglement can be ``rounded'' to one that does not. The results then follow from classical inapproximability bounds. Our work implies that, unless P=NP, the values of entangled-prover games cannot be computed by semidefinite programs that are polynomial in the size of the verifier's system, a method that has been successful for more restricted quantum games.

研究の動機と目的

• もつれを共有するプローバーをもつ1ラウンドゲームの値を近似する問題の計算複雑性を特定すること。
• 従来の結果がそれらのゲームが効率的に解ける可能性を示唆しているにもかかわらず、その値を計算または近似することがNP困難であることを示して、知識のギャップを埋めること。
• もつれが、戦略の複雑さと近似困難性の観点から、マルチプローバーゲームにおいて計算的利点をもたらすかどうかを調査すること。
• 古典的近似不可能性の結果を、もつれに耐性を持つゲームの変形とラウンドアップ戦略の構築によって、量子設定に拡張すること。

提案手法

• 著者らは、もつれに基づく戦略に対して耐性を持つように古典的マルチプローバーゲームを変換する手法を導入し、ゲームの構造を保ちつつ量子的利点を制限する。
• エンタングルド戦略を同等の古典的戦略に変換するラウンドアップ手順を定義し、トレース距離の境界を用いて誤差の蓄積を制御する。
• この手法は、三角不等式および部分測定の性質に基づいて導かれる、量子状態と測定演算子の系列的なトレース距離の不等式に依存している。
• 主な技術的ツールには、ツァイレルソンの埋め込み定理の使用と、密度行列および射影演算子への作用を通じた量子演算子の分析が含まれる。
• 集中限界と質問分布上の期待値を用いて、エンタングルド戦略と古典的戦略の結果の全変動距離をバウンディングする。
• これらのバウンディングを、既知の古典的近似不可能性結果（例：PCP定理）と組み合わせることで、もつれ付きゲームにおける近似のNP困難性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2人のもつれプローバーと量子検証者をもつ1ラウンドゲームの値を近似することは、NP困難であるか？
• RQ2 3人のもつれプローバーと古典的検証者をもつ1ラウンドゲームの値を近似することは、NP困難であるか？
• RQ3 もつれは、マルチプローバーゲームの値を近似する際に計算的利点を提供するか、それとも古典的困難性を維持するか？
• RQ4 もつれ付きゲームの近似困難性は、逆多項式要因を越えて改善可能か？
• RQ5 エンタングルド戦略に用いられたラウンドアップ技法は、他のクラスの量子ゲームへ一般化可能か？

主な発見

• 量子検証者と2人のもつれプローバーをもつ1ラウンドゲームの値を、逆多項式要因の範囲内で近似することはNP困難である。
• 古典的検証者と3人のもつれプローバーをもつ1ラウンドゲームの値を、逆多項式要因の範囲内で近似することはNP困難である。
• XORゲームなどの特定のゲームクラスではもつれ戦略がしばしば古典的戦略を上回るが、そのような状況でもこの困難性結果は成立する。
• XORゲームや一意ゲームといった制限付き量子ゲームではうまく機能する半定値計画法の緩和は、一般のもつれ付きゲームでは、P = NPでない限り、効率的に近似できないことを示している。
• 数学的予想が提示され、これが真であれば、もつれ付きゲームにおける定数要因の近似不可能性が示唆される。
• 著者らは、もつれがゲーム値の近似において一般の計算高速化をもたらさないことを示しており、共有もつれがあっても問題は依然としてNP困難のままである。