[論文レビュー] Entangled SU(2) and SU(1,1) coherent states

Xiaoguang Wang, Barry C. Sanders+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2000

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 71

ひとこと要約

本稿は、SU(2)およびSU(1,1)リー群に基づくもつれ coherent 状態を導入・分析し、調和振動子のもつれ coherent 状態をスピン系および非コンパactsな群系に一般化する。多粒子 coherent 状態の重ね合わせを用いてもつれ SU(2)および SU(1,1) coherent 状態を構築し、もつれ binomial、負の二項、および圧縮状態を特別な場合として導出し、それらが調和振動子のもつれ coherent 状態に収縮することを示す。主な貢献は、明示的な生成法ともつれの定量的評価を併せ持つ、非コンパクトおよびコンパクトな量子群におけるもつれ coherent 状態の統一的枠組みの確立である。

ABSTRACT

Entangled SU(2) and SU(1,1) coherent states are developed as superpositions of multiparticle SU(2) and SU(1,1) coherent states. In certain cases, these are coherent states with respect to generalized su(2) and su(1,1) generators, and multiparticle parity states arise as a special case. As a special example of entangled SU(2) coherent states, entangled binomial states are introduced and these entangled binomial states enable the contraction from entangled SU(2) coherent states to entangled harmonic oscillator coherent states. Entangled SU(2) coherent states are discussed in the context of pairs of qubits. We also introduce the entangled negative binomial states and entangled squeezed states as examples of entangled SU(1,1) coherent states. A method for generating the entangled SU(2) and SU(1,1) coherent states is discussed and degrees of entanglement calculated. Two types of SU(1,1) coherent states are discussed in each case: Perelomov coherent states and Barut-Girardello coherent states.

研究の動機と目的

• SU(2)および SU(1,1)リー群に基づくもつれ coherent 状態の統一的枠組みを構築し、調和振動子系を超えて展開すること。
• Perelomov 型および Barut-Girardello 型を含む、非コンパクト群（SU(1,1)）およびコンパクト群（SU(2)）の量子群へのもつれ coherent 状態の一般化を行うこと。
• 一般形式の特別な場合として、もつれ binomial、負の二項、および圧縮状態といった特定のもつれ状態を同定・構築すること。
• もつれ SU(2)および SU(1,1) coherent 状態が調和振動子のもつれ coherent 状態に収縮することを示すこと。
• これらのもつれ状態の生成にハミルトニアンに基づく手法を提供し、相関に基づく指標を用いてもつれの度合いを定量すること。

提案手法

• 本稿は、一般積分形式を用い、測度 $ d\tilde{\mu}(\tilde{\xi}) $ と重み関数 $ f(\tilde{\xi}) $ を含む、調和振動子の場合を一般化した形で、多粒子 coherent 状態の重ね合わせとしてもつれ SU(2)および SU(1,1) coherent 状態を構築する。
• SU(1,1) coherent 状態には2種類のタイプを区別する：最低重量状態への群作用による Perelomov coherent 状態と、下りる演算子の固有状態である Barut-Girardello coherent 状態であり、両者とももつれ形に拡張される。
• 形式的枠組みでは、群構造に適合した異なる測度を用いる：SU(2)には $ d\mu(\vec{\gamma}) $、Perelomov SU(1,1) には $ d\mu_P(\vec{\eta}) $、Barut-Girardello SU(1,1) には $ d\mu_{BG}(\vec{\eta}) $ を使用する。
• 重み関数 $ f(\tilde{\xi}) $ を特定の選び方（例えばデルタ関数の重ね合わせや二項配置の和）にすることで、もつれ binomial および負の二項状態が特別な場合として導出される。
• SU(2)および SU(1,1) のパrameterの適切な極限を取ることで、一般化された状態が標準的な coherent 状態の重ね合わせに還元されることを示し、調和振動子のもつれ coherent 状態への収縮を示す。
• 非線形項 $ J_z^2 $ および $ K_z^2 $ を含むハミルトニアンの時間発展を、量子系におけるこれらのもつれ状態の物理的生成メカニズムとして提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和振動子系を超えて、非コンパクト群（SU(1,1)）およびコンパクト群（SU(2)）のリー群に、もつれ coherent 状態をどのように一般化できるか。
• RQ2 もつれ SU(2)および SU(1,1) coherent 状態の具体的な形は何か。また、それらは binomial、負の二項、圧縮状態といった既知の物理的状態とどのように関係しているか。
• RQ3 もつれ SU(2)および SU(1,1) coherent 状態は、調和振動子のもつれ coherent 状態に収縮可能か。その極限手続きは何か。
• RQ4 これらのもつれ coherent 状態を量子系で物理的に生成するメカニズムは何か。ハミルトニアンの時間発展によってどのように実現できるか。
• RQ5 非正規直交状態を含むこれらの一般化された coherent 状態におけるもつれの度合いをどのように定量できるか。

主な発見

• もつれ SU(2) coherent 状態は、多粒子 SU(2) coherent 状態の重ね合わせとして構築され、重み関数がデルタ関数の対称的重ね合わせである場合、もつれ binomial 状態が特別な場合として現れる。
• もつれ SU(1,1) coherent 状態は、Perelomov 型および Barut-Girardello 型の両方で導出され、もつれ圧縮状態およびもつれ負の二項状態がその特別な例として得られる。
• 本稿は、SU(2)および SU(1,1) のパrameterの適切な極限を取ることで、もつれ SU(2)および SU(1,1) coherent 状態が調和振動子のもつれ coherent 状態に収縮することを示している。
• Shorのアルゴリズムにおける量子フーリエ変換状態が、もつれ SU(2) coherent 状態として表現可能であることが示された。ここでは、状態 $ |a\rangle $ が多粒子 SU(2) coherent 状態の積として、変換された状態が二値配置の重ね合わせとして表される。
• もつれの度合いは相関に基づく指標を用いて定量され、パrameterの選択に応じて、もつれなしの状態（製品状態）から最大もつれ状態まで変化することが示された。
• 非線形項 $ J_z^2 $ および $ K_z^2 $ を含むハミルトニアンの時間発展を、これらのもつれ状態の物理的生成法として提案したが、デコherenceに敏感である点に注意が払われた。