[論文レビュー] Entanglement and Properties of Composite Quantum Systems: a Conceptual and Mathematical Analysis

G. C. Ghirardi, Luca Marinatto+1 more|ArXiv.org|Sep 4, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複合系における量子もつれの厳密な概念的および数学的分析を提供し、区別可能な粒子と同一粒子の違いを明確にしている。もつれの必要十分条件を確立し、もつれ系における性質に関する誤解を解きほぐし、因子分解可能な状態の統計的混合状態がベルの不等式を破るこないことを示しており、量子力学における非局所性および隠れ変数理論の基礎的明確化を提供している。

ABSTRACT

Various topics concerning the entanglement of composite quantum systems are considered with particular emphasis concerning the strict relations of such a problem with the one of attributing objective properties to the constituents. Most of the paper deals with composite systems in pure states. After a detailed discussion and a precise formal analysis of the case of systems of distinguishable particles, the problems of entanglement and the one of the properties of subsystems of systems of identical particles are thourougly discussed. This part is the most interesting and new and it focuses various subtle questions which have never been adequately discussed in the literature. Some inappropriate assertions which appeared in recent papers are analyzed. The relations of the main subject of the paper with the nonlocal aspects of quantum mechanics, as well as with the possibility of deriving Bell's inequality are also considered.

研究の動機と目的

• 複合量子系におけるもつれの概念的および数学的基礎を明確にすること、特に部分系に客観的性質を帰属する点に焦点を当てる。
• 従来の文献で不十分に扱われてきた、同一粒子系におけるもつれの扱いに関する長年の曖昧さを解消すること。
• もつれ、非局所性、およびベルの不等式の導出との関係、特に混合状態における関係を検討すること。
• 最近の文献に見られるもつれおよび統計的混合状態に関する誤ったまたは誤解を招く主張を是正すること。
• 純粋および混合系において、もつれ状態と非もつれ状態を識別する形式的基準を確立すること。特に同一粒子に注目する。

提案手法

• ヒルベルト空間形式を用いた量子状態の形式的分析。純粋状態と統計的集合の区別を行う。
• テンソル積ヒルベルト空間における状態の非因子分解性をもつれの定義とし、もつれの明確な数学的条件を提示する。
• 統計的演算子（密度行列）を用いて非純粋状態を分析し、ρ_E* = ρ_E の関係における同値類を定義する。
• 混合状態における積観測量の期待値を導出し、状態が因子分解可能である場合に、隠れ変数モデルと正式に同等であることを示す。
• 定理4.3の適用により、因子分解可能な状態の混合状態がベルの不等式を満たす期待値をもたらすことを証明する。
• 同じ密度演算子を持つ統計的集合の同値類の分析により、与えられた状態が因子分解可能な純粋状態の混合に分解可能かどうかを判定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複合量子系がもつれ状態と見なされる明確な数学的および概念的条件は何か？
• RQ2 区別可能な粒子系と同一粒子系におけるもつれの取り扱いは、根本的にどのように異なるか？
• RQ3 非もつれ（因子分解可能）状態の統計的混合状態がベルの不等式を破ることができるか。その理由は何か？
• RQ4 密度演算子が与えられた統計的集合が、因子分解可能な純粋状態の混合に分解可能かどうかを決定する際に、密度演算子が果たす役割は何か？
• RQ5 最近の文献でなされた、混合状態におけるもつれおよびベルの不等式の破れに関する一部の主張が、厳密な分析において成立しないのはなぜか？

主な発見

• 因子分解可能な純粋状態の統計的混合状態で記述される系は、ベルの不等式を破ることができない。なぜなら、その期待値は局所的隠れ変数モデルと正式に一致するからである。
• 因子分解可能な状態の混合状態における積観測量 A(1)⊗B(2) の期待値は ⟨A(1)⊗B(2)⟩ = ∑p_j A_j B_j と与えられ、これは隠れ変数形式と構造的に同一である。
• 逆は成り立たない。もつれ状態の混合状態を記述する密度演算子が、因子分解可能な状態の混合状態を記述するものと数学的に同等であっても、ベルの不等式が破られるとは限らない。
• 与えられた密度演算子が因子分解可能な純粋状態の混合に分解可能かどうかを特定する問題は、形式的に困難であり、まだ完全に解決されていない。
• 同一粒子系では、対称化の原理のため、もつれの標準的形式的取り扱いを再評価する必要があり、本稿ではその微妙な概念的および数学的問題点を詳細に分析している。
• 最近の文献における、混合状態におけるベルの不等式の破れ非成立に関する不適切な主張を特定・是正し、このような結論が特定の条件下（例えば、因子分解可能な部分集合）でのみ有効であることを示している。