[論文レビュー] Entanglement as an axiomatic foundation for statistical mechanics

Giulio Chiribella, Carlo Maria Scandolo|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、情報理論的公理—因果性、純粋性保存、純粋性の鋭さ、および純粋化—を導入することで、もつれを統計力学の公理的基盤として提案する。これらは『純粋化を伴う鋭い理論』と呼ばれる物理理論のクラスを特徴づけ、混合状態を純粋なもつれ状態の周辺状態としてモデル化することにより、量子と古典的統計力学を統合する。この枠組みにより、主要性、エントロピー、ギブズ状態、ランデールの原理を、情報理論的原則のみから導出可能となる。

ABSTRACT

We propose four information-theoretic axioms for the foundations of statistical mechanics in general physical theories. The axioms---Causality, Purity Preservation, Pure Sharpness, and Purification---identify a class of theories where every mixed state can be modelled as the marginal of a pure entangled state and where every unsharp measurement can be modelled as a sharp measurement on a composite system. This class of theories, called sharp theories with purification, includes quantum theory both with complex and real amplitudes, as well as a suitable extension of classical probability theory where classical systems can be entangled with other, non-classical systems. Theories satisfying our axioms support well-behaved notions of majorization, entropy, and Gibbs states, allowing for an information-theoretic derivation of Landauer's principle. We conjecture that every theory admitting a sensible thermodynamics must be extendable to a sharp theory with purification.

研究の動機と目的

• 古典的力学やアンサンブル仮定に依存しない統計力学の基礎的枠組みを確立すること。
• 決定論的力学と確率論的熱力学の間の矛盾を、統計的概念を量子のもつれに根ざさせることで解消すること。
• 良好な熱力学的性質を持つ理論は、混合状態が純粋なもつれ状態から生じる『純粋化を伴う鋭い理論』に拡張可能でなければならないことを示すこと。
• エントロピー、主要性、ギブズ状態といった主要な熱力学的概念を、情報理論的公理のみを用いて導出すること。
• 古典的系が非古典的系ともつれることを許容することで、典型的性や対称性に基づく平衡状態の導出の適用範囲を古典的系へ拡張すること。

提案手法

• 量子、古典、および後量子理論を一様に取り扱える一般確率論的理論（GPT）の枠組みを形式化する。
• 因果性（逆行的信号伝播なし）、純粋性保存（純粋な写像の合成が純粋であること）、純粋性の鋭さ（純粋で鋭い観測可能量の存在）、および純粋化（任意の状態が、局所的可逆操作を除いて一意な純粋状態の周辺状態として表現可能）の4つの公理を導入する。
• これらの公理が『純粋化を伴う鋭い理論』を特徴づけることを証明し、複素または実振幅を伴う量子理論および非古典的もつれを許容する一般化された古典理論を含む。
• 純粋化公理を用いて、状態の固有値ベクトルを結ぶ双確率的行列の存在によって主要性を定義する。
• すべての純粋測定におけるシュール-凹関数の下限を用いて測定モノトーンを定義し、標準的なエントロピー類似関数と同等であることを示す。
• 純粋化および主要性構造を介して、情報の消去とエントロピー増加の関係を結びつけることで、公理からランデールの原理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統計力学を力学やアンサンブル仮定ではなく、もつれを基礎的原理として導出可能か？
• RQ2 物理理論に課される公理的条件は、良好なエントロピー、主要性、ギブズ状態の存在を保証するか？
• RQ3 古典的系が非古典的系ともつれることを許容するならば、古典的統計力学はもつれに根ざすことができるか？
• RQ4 純粋化公理は、ランデールの原理を含む熱力学の主要特徴を回復可能か？
• RQ5 健全な熱力学的性質を持つすべての理論は、必然的に『純粋化を伴う鋭い理論』に拡張可能か？

主な発見

• 因果性、純粋性保存、純粋性の鋭さ、および純粋化の4つの公理は、複素または実振幅を伴う量子理論および非古典的もつれを許容する一般化された古典理論を含む『純粋化を伴う鋭い理論』と呼ばれる理論のクラスを特徴づける。
• このような理論では、すべての混合状態が純粋なもつれ状態の周辺状態として生じ、すべての非鋭い測定が複合系における鋭い測定として実現可能である。
• これらの理論では主要性が適切に定義され、状態ρがσにより主要化されるとは、ρの固有値をσの固有値に写す双確率的行列が存在することを意味する。
• エントロピー関数および測定モノトーンは標準的定義と一致する：任意のシュール-凹関数fに対して、測定モノトーンM_f(ρ)はρの固有値にfを適用したものに等しい。
• 本稿では、公理からランデールの原理が導かれることが証明され、情報の消去はエントロピー増加を伴う状態変換に対応し、第二法則と整合的である。
• 相対エントロピーS(ρ∥σ)は、古典的カッラー・ライブラー距離によって下界で抑えられ、等号が成り立つのはρ = σのときのみであり、標準情報理論と一貫性と一意性を確立する。