[論文レビュー] Entanglement-assisted quantum codes from Galois LCD codes

Xiusheng Liu, Hualu Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限体上の $k$-Galois LCD MDS 符号を用いて、4つの新しい MDS 量子誤り訂正符号（EAQECC）のクラスを構築する。符号パラメータと定数循環構造に関する代数的条件を活用することで、計算的に高価な探索を避け、必要な ebits $c$ の明示的公式を導出し、最適パラメータを持つ最大エンタングルメント EAQECC を得る。

ABSTRACT

Entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) make use of preexisting entanglement between the sender and receiver to boost the rate of transmission. It is possible to construct an EAQECC from any classical linear code, unlike standard quantum error-correcting codes, which can only be constructed from dual-containing codes. However, the parameter of ebits $c$ is usually calculated by computer search. In this paper, we construct four classes of MDS entanglement-assisted quantum error-correcting codes (MDS EAQECCs) based on $k$-Galois LCD MDS codes for some certain code lengths, where the parameter of ebits $c$ can be easily generated algebraically and not by computational search. Moreover, the constructed four classes of EAQECCs are also maximal-entanglement EAQECCs.

研究の動機と目的

• より高い効率とパラメータ制御を実現する新しい MDS エンタングルメント補助量子符号の構築を目的とする。
• 従来の EAQECC の構築法が ebits 数 $c$ の計算探索に依存するという制限を克服することを目的とする。
• $k$-Galois LCD 符号を用いて、ebits パrameter $c$ を体系的かつ代数的に生成する方法を確立することを目的とする。
• 構築された EAQECC が最大エンタングルメントを達成しており、伝送効率を最大化していることを示すこと

提案手法

• 古典的 LCD およびヘルミート LCD 符号を一般化する $k$-Galois LCD 符号を基盤として用いる。
• $\lambda$ を $r$ 乗単根とする $\mathbb{F}_q$ 上の $\lambda$-定数循環符号の理論を適用する。
• $r \mid (q-1)$ および $r \nmid (1 + p^{e-k})$ などの代数的条件を課して、$k$-Galois LCD 構造を保証する。
• 定数循環符号の BCH 界を用いて最小距離 $d$ を保証する。
• エンタングルメント補助量子符号の構築フレームワークを用い、古典的 $k$-Galois LCD 符号から $[[n,l,d;c]]_q$ パラメータを導出する。
• 命題 3.3 を適用して、古典的 $k$-Galois LCD MDS 符号を、$c$ が代数的に導出された MDS EAQECC に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k$-Galois LCD 符号を体系的に用いて、代数的に決定された ebits 数を有する MDS EAQECC を構築できるか？
• RQ2 ebits パrameter $c$ を計算探索に依存せずにどのように生成できるか？
• RQ3 コード長 $n$、次元 $l$、最小距離 $d$ にどのような代数的条件を課すと、得られる EAQECC が最大エンタングルメントを達成するか？
• RQ4 特定の族の定数循環符号は、$k$-Galois 対称性の下で最適パラメータを持つ MDS EAQECC を生成できるか？
• RQ5 この構築法は、$e \geq 2$ である偶数および奇数の素数べき $q = p^e$ に一般化可能か？

主な発見

• パラメータ $[[n,l,n-l+1;n-l]]_q$（$n \leq q+1$）を持つ 4 つの新しい MDS EAQECC のクラスが構築され、$c = n-l$ が代数的に決定される。
• 2 番目のクラスは、$n = (q-1)/r$、$r \mid (q-1)$、$r \nmid (1 + p^{e-k})$、$2 \leq d \leq n$ を満たす $[[n,n+1-d,d;d-1]]_q$ 符号を生成し、$c = d-1$ が代数的に導出される。
• 条件として $l$ が $p^e - 1$ を割り切り、$p^k + 1$ を割り切らないとき、$n = 2l$、$2l+1$、$2l+2$ の場合に、それぞれ $[[2l,l,l+1;l]]_q$、$[[2l+1,l,l+2;l+1]]_q$、$[[2l+2,l,l+3;l+2]]_q$ 符号が得られる。
• $p \equiv 1 \pmod{4}$ の場合、$1 \leq l \leq (p-5)/4$ の範囲で $[[ (p-1)/2, (p-1)/2 - 2l, 2l+1; 2l ]]_q$ の EAQECC が構築され、$p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、$1 \leq l \leq (p-3)/4$ の範囲で $[[ (p-1)/2, (p-1)/2 - 2l + 1, 2l; 2l - 1 ]]_q$ の符号が得られる。
• 構築されたすべての EAQECC は最大エンタングルメント符号であり、$n$ と $d$ に対して可能な最大の $c$ 値を達成しており、伝送効率が向上する。
• 本手法は $c$ の計算探索を回避し、代わりに $q = p^e$、$k$、$r$ に関する符号構造と体論的条件から $c$ を代数的に導出する。